Question

定义在[-1,1]上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),且f(1-a)+f(1-a2)<0,若f(x)在[-1,1]上是减函数，求a的范围。

Answer 1

满足f(-x)=-f(x),是奇函数
首先考虑定义域，则有-1≤1-a≤1且-1≤1-a2≤1
解得0≤a≤√2 (1)
其次不等式化为f(1-a)<-f(1-a²)=f(a²-1)
因在[-1,1]上是减函数,所以1-a>a²-1
解得-2<a<1 (2)
由(1)(2)取交集得0≤a<1

Answer 2

这样做：
首先1-a和1-a²必须在定义域内，最后得到：a∈[0,√2]
f(-x)=-f(x) => f(1-a)= -f(a-1) 原不等式化为：f(1-a²)<f(a-1)
由于是减函数(没说单减)，所以：1-a²≥a-1
得到：a∈[-2,1]
综上：a∈[0,1]

Answer 3

解: f(x)在[-1,1]上是减函数

且:f(1-a)+f(1-a^2)<0
f(1-a)<-f(1-a^2)
由于f(-x)=-f(x),
则: f(1-a)<f(a^2-1)
又f(x)在定义域(-1,1)内递减
则有: -1<1-a<1 -----(1)
-1<1-a^2<1 -----(2)
1-a>a^2-1 -----(3)

解得: 0<a<1