Question

已知f（x）为二次函数，若f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）的表达式

Answer 1

因为f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1
当x=0时，f（0+1）=f（0）+0+1 → f（1）= 1
当x=-1时，f（-1+1）=f（-1）-1+1 → f（-1）= 0
设f（x）=ax²+bx+c
分别代入得：
c=0
a+b+c=1
a-b+c=0
所以a=1/2，b=1/2，c=0
所以 f（x）=x²/2+x/2

Answer 2

设f(x)=ax^2+bx+c
因为f(0)=0，
所以c=0
又f(x+1)=f(x）+x+1，
即
a(x+1)^2+b(x+1)=ax^2+bx+x+1
ax^2+2ax+a+bx+b=ax^2+bx+x+1
2ax+a+b=x+1
所以2a=1，a+b=1
解得
a=1/2
b=1/2
所以
f(x)=x^2/2+x/2

追问

ax^2+2ax+a+bx+b=ax^2+bx+x+1
怎么变成2ax+a+b=x+1
然后又怎么得出所以2a=1，a+b=1
？

追答

一次项与一次项相等，常数项与常数项相等

追问

具体点好不 加分呀不懂

Answer 3

设这个二次函数f(x)=ax^2+bx+c
由f(0)=0可以得到c=0 f(x)=ax^2+bx
然后将f(x)=ax^2+bx代入f（x+1）=f（x）+x+1得
a(x+1)^2+b(x+1)=ax^2+bx+x+1
化简后得，(2a-1)x+a+b-1=0
要让等式成立，只有让2a-1=0 且a+b-1=0
解得a=1/2 b=1/2
所以f(x)=x^2/2+x/2