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根据题意,函数对应的方程有两个正数解,即:
判别式>0,且x1+x2>0,x1x2>0
根据韦达定理
x1+x2=-b/a=m²+8,由于对于m∈R,都有m²+8>0
x1x2=c/a=m²+6,显然,对于m∈R,都有m²+6>0
所以,对于m∈R,函数必定与X轴有两个交点且这两个交点都在X轴的正半轴上
判别式>0,且x1+x2>0,x1x2>0
根据韦达定理
x1+x2=-b/a=m²+8,由于对于m∈R,都有m²+8>0
x1x2=c/a=m²+6,显然,对于m∈R,都有m²+6>0
所以,对于m∈R,函数必定与X轴有两个交点且这两个交点都在X轴的正半轴上
追问
再具体点,有点懂了,韦达定理现在是课外知识,有点不太熟
追答
【证明】
函数图像与X轴的交点,实际上就是当f(x)=0时,方程x²-(m²+8)x+2(m²+6)=0的根
要使方程具有两个正实数根,则必须满足:方程判别式大于0,两根之和大于0和两根之积大于0
∵△=b²-4ac=(m²+8)²-8(m²-6)=m^4+16m²+64-8m²+48=m^4+8m²+112=(m²+4)²+96
∵对于任何m,都存在m²≥0
∴m²+4≥4
∴△>0,则方程对于任何m都存在两个实数根,假设方程两根为X1、X2
根据方程根的公式x=(-b±√△)/2a得知
x1+x2=(-b+√△)/2a+(-b-√△)/2a=-b/a=m²+8
显然,对于任何m,都存在m²+8≥8>0
x1x2=(-b+√△)/2a×(-b-√△)/2a=(b²-△)/4a²=(b²-b²+4ac)/2a²=c/a=2(m²+6)
同样道理,对于任何m都存在2(m²+6)≥12>0
∴对于任何m,方程x²-(m²+8)x+2(m²+6)=0不仅具有两个实数根,而且这两个实数根均为正数
所以,f(x)=x²-(m²+8)x+2(m²+6)的函数图像与X轴具有两个交点,且这两个交点均位于X轴的正半轴。
【对于判别式大于0,方程具有两个根,这点好理解,关键是两根之和大于0,两根之积大于0,可能不好理解。首先,两个实数之积大于0,则可以得出这两个实数同为正数或同为负数;其次,在这个情况下,如果这两个实数之和大于0,则表明这两个实数同为正,如果两个实数之和小于0,则表明这两个实数同为负。】
【引申】如果要求两根一正一负,只要满足判别式大于0,两根之积小于0即可;如果两根均为负,则要满足判别式大于0,且两根之和小于0,两根之积大于0;如果只有一个根(或两个相等根),则只需满足判别式等于0即可;如果无根,则满足判别式小于0即可。
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因为方程x2-(m2+8)x+2(m2+6)=0
德尔塔>0
所以有两个交点
德尔塔>0
所以有两个交点
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已知二次函数y=x2-(m2+8)x+2(m2+6)求证:不论m取何实数,此函数图象都与x轴有两个交点,
Y=x^2-〔m^2+8〕X+2〔m^2+6〕
=(x-(m^+8)/2)^-(m^+8)^/4+2(m^+6)
=(x-(m^+8)/2)^-(m^+4)^/4
则A点坐标为((m^2+8)/2,-(m^+4)^/4)
Y=x^2-〔m^2+8〕X+2〔m^2+6〕
=(x-(m^+8)/2)^-(m^+8)^/4+2(m^+6)
=(x-(m^+8)/2)^-(m^+4)^/4
则A点坐标为((m^2+8)/2,-(m^+4)^/4)
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