Question

求极限。lim,x→0,arcsinx/x.

设t=arcsinx,则x→0等价于t→0，故lim,x→0,arcsinx/x=lim,t→0,t/sint=1.
为什么x→0等价于t→0？为什么lim,x→0,arcsinx/x=lim,t→0,t/sint？求帮助。
书上的例题给的是这种解法。还请费心帮忙解释下。

Answer 1

因为arcsinx在x趋近于0时arcsinx的等价无穷小为x，sinx在x趋近于0时sinx的等价无穷小也为x，至于x趋近于0时x/sinx=1 这是高等数学里的一个类似于公式的等式。也可以用洛比达法则也就是同时对分子分母独立求导 得 lim,x→0,sinx/x =lim,x→0，cosx/1=1

追问

为什么x→0等价于t→0？为什么lim,x→0,arcsinx/x=lim,t→0,t/sint？

追答

这个问题可以画图啊，画sinx 和arcsinx 的图 x趋近于0 时它们等价啊

Answer 2

这是一种换元的思想，t=arcsinx，那么x=sint,OK
其实你要是记住了，x→0,arcsinx等价于x等价于sinx

Answer 3

可以不这样写，用这种也可以

Answer 4

　　you can use this method
　　求极限。lim,x→0,arcsinx/x.

　　设　y=arcsinx 那么　　siny=x
　　当 x趋近于 0 , y 也趋近于0
　　那么有
lim,y→0＝y/siny
==> d/dy (y)/d/dy(siny)
==>1/cosy -------cos(0)=1
=1.
所以
lim,x→0,arcsinx/x＝1

N.D. TETTEH 来自　加纳　　GHANA