Question

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c在区间[-2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A={x|f(x)=x},若A={1}，且a≥1

记g(a)=M+m,求g(a)的最小值

Answer 1

A={x|f(x)=x},若A={1}，可以得出,f(1)=1,且ax^2+bx+c=x有且只有一个解即
ax^2+（b-1）x+c=0只有一个解，
所有：a+b+c=1,(b-1)^2=4ac...所以a=c,b=1-2a.
-b/(2a)=1-1/(2a) 又因为a>=1..所以1/2=<(-b/(2a))<=1
由函数图像可知
M=f(-2)=4a-2b+c=9a-2
m=(b^2-4ac)/4a=1/a-1
g(a)=9a+1/a-3 显然又a>=1在定义域内单调递增...当a=1时有最小值
g（1）=9+1-3=7

Answer 2

（1）f(1)=a+b+c=1

f(2)=4a+2b+c=2

f(0)=c=2

解方程，你自己来吧，很好算，之后你知道怎么求M,m，对吧

（2）已知f(1)=a+b+c=1

a>=1,开口向上

b+c<=0,即b,c至少一个为负

最大值在2或-2处

f(2)=4a+2b+c=2

f(-2)=4a-2b+c=2

当b>0, f(2)最大，反之，f(-2)

讨论对称轴(开口向上)

情况一：当-b/2a<=-2时，b>=4，c<-b;

g(a)=f(-2)+f(2)=8a+2c

情况二：当-2<-b/2a<=0时,0<=b<4,c<-b;

g(a)=(4ac-b^2)/4a +f(2)

情况三：当0<-b/2a<=2时，-4<=b<0,c<-b;

g(a)=(4ac-b^2)/4a +f(-2)

情况四：当2<-b/2a时,b<-4,c<-b;

g(a)=f(-2)+f(2)=8a+2c

比较这四种情况的g(a)，选出最小的（根据a,b,c,的取值范围），即为答案

Answer 3

很简单的,A={x|f(x)=x},若A={1}，可以得出,f(1)=1,且ax^2+(b-1)x+c=0只有一个根,这样我们都可以用a表示f(x)的函数f(x)=ax^2+(1-2a)x+a,因为a≥1,所以函数对称轴x=x0必在(0,1)之间,即f(x)max=f(-2),f(x)max=f(x0)
所以g(a)=M+m=f(-2)+f(x0),求函数的单调区间
这样就可以求g(a)的最小值,因该g(a)=g(1)具体过程我没算,你自己算了

Answer 4

A={x|f(x)=x},若A={1}，可以得出,f(1)=1,且ax^2+bx+c=x有且只有一个解即
ax^2+（b-1）x+c=0只有一个解，
所有：a+b+c=1,(b-1)^2=4ac...所以a=c,b=1-2a.
-b/(2a)=1-1/(2a) 又因为a>=1..所以1/2=<(-b/(2a))<=1
由函数图像可知
M=f(-2)=4a-2b+c=9a-2
m=0 (因为有唯一解 所以最低点在x轴上 ，且在定义域内）
故g（a)=9a-2=9-2=7