Question

圆的周长计算公式如何证明

Answer 1

对于半径为R的扇形，其圆心角为a，所对的弦长，由三角函数可得，2Rsin(a/2)，内接多边形周长为2π/aX2Rsin(a/2)，圆一周所对圆心角是2π，当然可以换个符号表示，不另讨论
相应的，外切多边形的算法类似，周长为2π/aX2Rtan(a/2)

当a接近于无穷小时，内接多边形周长为lim(a→0+)(2π/aX2Rsin(a/2))，外切多边形周长为
lim(a→0+)(2π/aX2Rtan(a/2))，对于极限lim(a→0+)(sina/a)，lim(a→0+)(tana/a)，a必须用弧度计算，如果a是角度，需要转化为弧度，这两个极限都是1

圆周长在这两个极限之间，大于内接圆周长，小于外切圆周长，而极限相等，由夹逼定理 2πRXlim(a→0+)(sin(a/2)/(a/2))=2πRXlim(a→0+)(tan(a/2)/(a/2))=2πR
所以圆周长等于2πR