Question

在△ABC中,角BAC=90°,AB=AC ①点E、F在 BC上，且角EAF=45°，求证BE+CF＞EF

②点E在BC上，且点F在BC的延长线上，且角EAF=45°，求证：BE+CF＞EF

Answer 1

证明：（1）作BD⊥BC与AD⊥AF相交于D，连结DE。
因为BD⊥BC，∠ABC=45°（等腰直角三角形），
∴∠ABD=45°=∠C，
又∠DAF=∠BAC=90°，
得∠DAB=∠FAC，AB=AC，
则△DAB≌△FAC，
∴BD=CF，AD=AF，
∵∠DAE=∠DAF-∠EAF=45°=∠EAF，
又AE=AE，
∴△ADE≌△AFE，
∴ DE=EF
∵ BD+BE＞DE (△两边和大于第三边）
∴ BE+CF＞EF
（2）点E在BC上，且点F在BC的延长线上，且角EAF=45°，同理可证：BE+CF＞EF
不同之处就是∠ABD=135°=∠ACF，其它基本是一样的。。。
希望对你有所帮助！

追问

BD似乎不能垂直于BC，AD也似乎不能垂直于AF

追答

这样表述你可能就明白了：
过B点作BC的垂线；过A点作AF的垂线；两条线相交于D，连结DE。