Question

函数f(x)定义域为(0,+∞)且在定义域上为增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1,试解不等式f(x)-f(x-2)＞3

Answer 1

f(8)=f(4乘以2)=f(4)+f(2)=f(2)+f(2)+f(2)=3，
f(x)-f(x-2)＞3得到f(x)＞3+f(x-2)
即f(x)＞f(8)+f(x-2)
得f(x)＞f(8x-16)
因为函数f(x)定义域为(0,+∞)且在定义域上为增函数
所以x＞8x-16
且x>0,x-2>0（这两个条件要同时满足，即取他们的交集）
综上得到：2<x<16/7

Answer 2

f(x)-f(x-2)>3可知
f(x)>f(x-2)+3
由f(2)=1
f(x)>f(x-2)+f(2)+f(2)+f(2)
由f(xy)=f(x)+f(y)
则f(4)=f(2)+f(2)
则
f(x)>f(x-2)+f(4)+f(2)
f(x)>f(x-2)+f(8)
f(x)>f(8*(x-2))
因函数为增
x>8x-16
x<16/7
根据原定义区间，x-2>0,即x>2
则解集为2<x<16/7

Answer 3

f(xy)=f(x)+f(y)
f(2*2)=f(2)+f(2)=2
f(2*4)=f(2)+f(4)=3
因为f(x)为单调函数
3=f（8）
f(x-2)+3=f(x-2)+f（8）=f [8(x-2)]<f (x)
所以8x-16<x
即 0<x<16/7