Question

在数列{an}中,a1=a+1/a(a>0),a（n+1）=a1-1/an（1）求a2,a3的值,并猜想an表达式（2）用数学归纳法证明。

Answer 1

解：
（1）a2 = a1-1/a1 = (a^4+a^2+1)/a(a^2+1)
a3=a2-1/a2 = (a^8+a^6+a^4+a^2+1)/a(a^2+1)(a^4+a^2+1)
猜想an = (a^2^n+a^(2^n-2)+...+1)/a(a^2+1)(a^4+a^2+1)(a^2^(n-1)+a^(2^(n-1)-2)...+1)

(2)需要证明(a^2^n+a^(2^n-2)+...+1)^2 - [a(a^2+1)(a^4+a^2+1)(a^2^(n-1)+a^(2^(n-1)-2)...+1)]^2 =a^2^(n+1)+a^(2^(n+1)-2)+...+1。
为方便,设p(n)=a^2^n+a^(2^n-2)+...+1, n>=1,即要证明
p(n)^2-[ap(1)p(2)...p(n-1)]^2=p(n+1), n>=2.
当n=1时，p(1)^2-a^2=(a^2+1)^2-a^2=a^4+a^2+1,结论成立。
容易验证n=2时结论成立。
使用归纳法，假设结论对n=k成立， p(k)^2-[ap(1)p(2)...p(k-1)]^2=p(k+1),
当n=k+1时，