Question

已知正数数列{an}和{bn}满足:对任意n(n属于N*),an,bn,a<n+1>成等差数列,且a(n+1)=根号bn*b(n+1).

设a1=1,a2=2,求{an}和{bn}的通项公式

Answer 1

an，bn，a(n+1)成等差数列得，an+a(n+1)=2bn -----①
由a(n+1)=√[bn*b(n+1)] -----②
递推得an=√[b(n-1)*bn] -----③
②③代入①得，√[bn*b(n+1)]+√[b(n-1)*bn]=2bn
上式两边同除以√bn得
√b(n+1)+√b(n-1)=2√bn，
即√b(n+1)-√bn=√bn-√b(n-1)
可见数列{√bn}是等差数列。
将a1=1，a2=2代入①求得，b1=3/2，再代入②得，b2=8/3
所以数列{√bn}的首项=√b1=√(3/2)，公差d=√b2-√b1=√(8/3)-√(3/2)=√6/6。
所以√bn=(√b1)+(n-1)d=√(3/2)+ (n-1)(√6/6)=(n+2)/√6
bn=(n+2)²/6，进而递推得b(n-1)=(n+1)²/6，代入③得
an=(n+1)(n+2)/6

Answer 2

下标我用括号
解：∵a(n+1)=√[bn*b(n+1)] ------① 等差数列 => an+a(n+1)=2bn -----②
②代入①消去an得到：√b(n+1)-√bn=√bn-√b(n-1)
可见√[bn]是等差数列 ∴√bn=√b1+(n-1)(√b2 - √b1) ------③
将a1a2代入①②求得：b1=3/2 b2=8/3 再代入③得到√bn=1/√6*(n+2)
bn=(n+2)²/6 再代入②得到：an=(n+1)(n+2)/6

Answer 3

good!!!

Answer 4

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