Question

设{an}是正数组成的数列，其前n项和为sn，且an与2的等差中项等于sn与2的等比中项。求此数列的前三项及通项

还有求此数列的通项公式麻烦了

Answer 1

解：
由已知条件列式：
(an+2)/2=√(2Sn)
整理，得
(an+2)²=8Sn
令n=1 (a1+2)²=8a1
整理，得(a1-2)²=0
a1=2
令n=2 (a2+2)²=8(2+a2)
整理，得(a2-2)²=16
a2=6或a2=-2(舍去)
a2=6
令n=3
(a3+2)²=8(2+6+a3)
整理，得
(a3-2)²=64
a3=10或a3=-6(舍去)
a3=10
a2-a1=6-2=4
a3-a2=10-6=4，差相同。
猜想数列{an}是以2为首项，4为公差的等差数列。
假设当n=k(k∈Z，且k≥1)时，数列是是以2为首项，4为公差的等差数列。
则当n=k+1时，
前k项和Sk=2k+4k(k-1)/2=2k+2k(k-1)=2k²
[a(k+1)+2]²=8[2k²+a(k+1)]
a(k+1)²+4a(k+1)+4=16k²+8a(k+1)
a(k+1)²-4a(k+1)+4=16k²
[a(k+1)-2]²=16k²
a(k+1)=2+4k或a(k+1)=2-4k(舍去)
a(k+1)=2+4k，同样满足等差数列
an=2+4(n-1)=4n-2
综上，得数列{an}的通项公式为an=4n-2

提示：这道题先要求前三项，再求通项公式，据题意，是要找规律再证明，因此用了数学归纳法。 其实，直接求通项公式更简单：
由已知条件列式：
(an+2)/2=√(2Sn)
整理，得
(an+2)²=8Sn
[a(n+1)+2]²=8Sn+1
8a(n+1)=8Sn+1-8Sn=[a(n+1)+2]²-(an+2)²
[a(n+1)-2]²-(an+2)²=0
[a(n+1)-2+an+2][a(n+1)-2-an-2]=0
[an+a(n+1)][a(n+1)-an-4]=0
数列为正项数列，各项均>0 an+a(n+1)>0，要等式成立，只有a(n+1)-an-4=0
a(n+1)-an=4，为定值。
a1=2
数列{an}是以2为首项，4为公差的等差数列。
an=2+4(n-1)=4n-2
数列{an}的通项公式为an=4n-2
这也验证了上面的数学归纳法的结论是正确的。