Question

已知数列{an}的前n项和Sn=2an-3，设bn=n*an/(2^n),求数列{bn}的前n项和

求详解

Answer 1

a1=2a1-3
a1=3
Sn=2an-3
S(n-1)=2a(n-1)-3 (n>1）
以上两式相减
an=2an-2a(n-1)
an=2a(n-1)
所以{an}是等比数列，公比为2，首项为3
an=3*2^(n-1)
bn=3n/2
{bn}的前n项和=(3/2+3n/2)*n/2=3n(n+1)/4

追问

最后一步是利用等差公式Sn=n(a1+an)/2,但是您怎么知道bn=3n/2是等差数列

Answer 2

因为Sn=2an-3，所以an=Sn-S(n-1)=(2an-3)-(2a(n-1)-3)=2(an-a(n-1))，得an=2a(n-1)
迭代求得an=3*2^(n-1) (n∈N*)
故bn=n*an/(2^n)=n*3*2^(n-1)/(2^n)=3n/2
所以{bn}的前n项和b1+b2+…+bn=3*(1+2+…+n)/2=3n(n+1)/4