Question

微积分题目，最后一步是怎么得到的？要详细过程

Answer 1

∫∫dxdy=s,所以m∫∫dxdy=ms
∫[φ（y)e^x-my]dx+[φ'（y)e^x-m]dy 因为dy=y'dx
=∫[φ（y)e^x-my]dx+[φ'（y)e^x-m]y'dx
∫[φ（y)e^x-my+φ'（y)e^xy'-my']dx
y=y(x)
原式=∫φ（y）d(e^x)+∫[-my+φ'（y)e^xy'-my']dx
=φ（y)e^x-∫e^xdφ(y)+∫[-my+φ'（y)e^xy'-my']dx
=φ（y)e^x-∫e^xφ'(y)y'dx+∫[-my+φ'（y)e^xy'-my']dx
=φ（y)e^x+∫[-my-my']dx
=φ（y)e^x-m∫[y+y']dx
=φ（y)e^x-m∫ydx-∫y'dx
=φ（y)e^x-m∫ydx-y
=φ（y2)e^x2-φ（y1)e^x1-m(y2-y1)-m∫ydx
注意∫ydx是函数y=f（x)在区间（x1，x2)间的面积，而题目说了，两点之间是直线，那么图形是一个梯形，梯形上底加下底=y1+y2,高=x2-x1,面积=（x2-x1)(y1+y2)/2
所以原式=φ（y2)e^x2-φ（y1)e^x1-m(y2-y1)-m（x2-x1)(y1+y2)/2
=φ（y2)e^x2-m/2（x2-x1)(y1+y2)-φ（y1)e^x1-m(y2-y1)
写的很细了，同学要是还有不懂，可以去大学生数学竞赛吧提问

追问

谢谢你的帮助，但是AMB是AB之间的任意路线，应当用到格林公式，而不是用梯形面积带入

追答

用梯形面积的方法更直观，简便

Answer 2

先加AB再减去AB，分成闭合区间积分与直线积分2部分，闭合区间积分套公式，就是m倍的ABM面积，后者直接套直线公式 高数第二册部分，多看看就理解了