Question

在线等线性代数题

陈文登指南2011版473页，有一道例题，A为m阶实对称矩阵且正定，B为mxn实矩阵，B^（手机发帖没转置符号，用这这个代替啦）为B的转置矩阵。试证：B^AB为正定矩阵充要条件为r(B)=n。这道题答案在证明充分性时候，说方程组Bx=0只有零解，因为任意n维列向量x不等于0，所以Bx不等于0，他说(Bx)^(Bx)>0，所以x不等于0的时候x^(B^AB)x>0直接得出结论正定了。这样做有根据吗？我看不出来啊，谁能帮我解释下啊。我的思路是这样的，我证明充分性的时候设的A=P^P，所以B^AB=B^(P^P)B=(PB)^(PB)因为P和B都可逆，所以PB可逆，所以结论成立。在线等解答…

Answer 1

解释没有问题
充分性由r(B)=n推B^AB正定
当r(B)=n时，显然有Bx=0，因为B的列秩和元素个数相同，x只能为零。而求正定时，x是不为零的向量，所以Bx不为零（注意，Bx是一个列向量，不是一个数）。这样，(Bx)^(Bx)乘积必然大于0。（注意，这里的(Bx)^(Bx)是一个数）
你的做法中有一个错误，B是m*n矩阵，显然不可能是可逆矩阵。可逆矩阵是只有N阶矩阵才有的概念。

Answer 2

B为mxn实矩阵, 不一定可逆.

证明
充分性: 对任意n维非零列向量x
因为 r(B) = n, 所以BX=0 只有零解
故由x≠0知 Bx ≠ 0, 即Bx是一个非零的m维列向量
由A正定知 (Bx)^TA(Bx) > 0.
即 x(B^TAB)x > 0.
所以 B^TAB 正定 #