Question

考研概率题：假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品。

现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零（不放回）试求：在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的条件概率 .
一种解法（大部分参考资料都是这么做的）：以条件概率公式来做，求出先取的零件是一等品的概率作为分母，再求两次取的都是一等品的概率作为分子，答案约等于48.6%
另一种解法（08年王式安老师概率强化班上的讲解）：若取的是第一箱，则在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的概率为9/49；若取的是第二箱，则在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的概率为17/29；那么最终的概率为P=1/2*9/49+1/2*17/29，约为38.5%
把我看懵了，如果真的做题，首先必定是前一种解法。但是没觉得王式安老师讲得不对的地方。请问这两种算法，哪种是正确的？

Answer 1

显然，王式安的做法是正确的

参考例题

Answer 2

你被弄糊涂了，王式安老师的方法是错的。两次取一等品的情况是不止两种的：第一次在第一箱取一等品，第二次可以在第一箱，也可以在第二箱；同理，还有两种情况。所以，你在王老师的基础上，补上两种情况，肯定能够得到正确的答案了（两箱抽取是相互独立的）。

追问

题目不是先选箱子，再依次取零件吗？那么两个零件应是在同一箱取的。

追答

我们来按事件的分划来处理这题，就能发现缺陷了：
对于第一种解法思路：
事件A：先取出的零件是一等品，时间B：第二次取出的零件是一等品
第一箱的一等品概率为1/5
第二箱的一等品概率为3/5
先取出的零件是一等品的概率P(A)=1/5*0.5+3/5*0.5=2/5
运用条件概率求P(B|A)=P(AB)/P(A)
设第一次选第一箱的概率为P(C)=0.5
第一次选第二箱的概率为P(D)=0.5
P(AB)=P(C)P(AB|C)+P(D)P(AB|D)=0.5*(10*9)/(50*49)+0.5*(18*17)/(30*29)
【P(AB|C)理解为第一次选第一个箱子 且第一第二次都取出一等品的概率】
所以P(B|A)=P(AB)/P(A)= 0.4856

再来看第二种方法：按照王老师的分析思路
事件假设同第一题一样：先取第一箱，两次取得一等品概率P(ABC)=P(C)P(A|C)P(B|AC)
先取第二箱，两次取得一等品的概率P(ABD)=P(D)P(A|D)P(B|AD)
如果按照P(ABC)+P(ABD)=P(AB)
这样求的后又回到上题去了，解法就对了，但是王老师错误的认为P(C)P(A|C)P(B|AC)/P(A)就得到了在第一箱取得一等品后另一抽取又得一等品的概率。

1/2{（10/50*9/49）/（10*50）+（18/30*17/29）/(18/30)}=38.5%

Answer 3

王老师的解答是正确的，因为第一种解法里面的第一次取到正品的情况包括了从第一个和第二个箱子，连续两次取到正品也包括了两次都是从第一个箱子和两次都是从第二个箱子。而根据题目，应该是两个产品都是一个箱子里取出来的，在第一次选了某个箱子以后第二次就必须得在那个箱子里选了。选箱子的概率1/2应该乘在最外面，所以应该是1/2{（10/50*9/49）/（10*50）+（18/30*17/29）/(18/30)}=38.5%

Answer 4

王的当然不对，王的解法认为选到两个箱子的概率都是1/2，但这是原则性的错误，王的解法忽视了“第一次已经取出一等品条件下”这一条件，根据贝叶斯定理，在第一次已经取出一等品的条件下，选的是第一箱的概率是（1/2 * 10/50）/（2/5），而不是1/2

Answer 5

第一次取到的零件是一等品的概率
1/2*10/50+1/2*18/30=0.4

二次都取到一等品的概率
1/2*10/50*9/49+1/2*18/30*17/29=0.19423
第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的零件也是一等品的概率,应用条件概率公式
0.19424/0.4=0.4856