Question

博弈论经典问题

经济学上有个“海盗分金”模型，是说5个海盗抢得100枚金币，他们按抽签的顺序依次提方案：首先由1号提出分配方案，然后5人表决，超过半数同意方案才被通过，否则他将被扔入大海喂鲨鱼，依此类推。 假定“每人海盗都是绝顶聪明且很理智”，那么“第一个海盗提出怎样的分配方案才能够使自己的收益最大化？”

Answer 1

推理过程是这样的： 　　从后向前推，如果1至3号强盗都喂了鲨鱼，只剩4号和5号的话，5号一定投反对票让4号喂鲨鱼，以独吞全部金币。所以，4号惟有支持3号才能保命。 　　3号知道这一点，就会提出“100，0，0”的分配方案，对4号、5号一毛不拔而将全部金币归为已有，因为他知道4号一无所获但还是会投赞成票，再加上自己一票，他的方案即可通过。 　　不过，2号推知3号的方案，就会提出“98，0，1，1”的方案，即放弃3号，而给予4号和5号各一枚金币。由于该方案对于4号和5号来说比在3号分配时更为有利，他们将支持他而不希望他出局而由3号来分配。这样，2号将拿走98枚金币。 　　同样，2号的方案也会被1号所洞悉，1号并将提出（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）的方案，即放弃2号，而给3号一枚金币，同时给4号（或5号）2枚金币。由于1号的这一方案对于3号和4号（或5号）来说，相比2号分配时更优，他们将投1号的赞成票，再加上1号自己的票，1号的方案可获通过，97枚金币可轻松落入囊中。这无疑是1号能够获取最大收益的方案了！答案是：1号强盗分给3号1枚金币，分给4号或5号强盗2枚，自己独得97枚。分配方案可写成（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）。 　　企业中的一把手，在搞内部人控制时，经常是抛开二号人物，而与会计和出纳们打得火热，就是因为公司里的小人物好收买。 　　1号看起来最有可能喂鲨鱼，但他牢牢地把握住先发优势，结果不但消除了死亡威胁，还收益最大。这不正是全球化过程中先进国家的先发优势吗？而5号，看起来最安全，没有死亡的威胁，甚至还能坐收渔人之利，却因不得不看别人脸色行事而只能分得一小杯羹。 　　不过，模型任意改变一个假设条件，最终结果都不一样。而现实世界远比模型复杂。 　　首先，现实中肯定不会是人人都“绝对理性”。回到“海盗分金”的模型中，只要3号、4号或5号中有一个人偏离了绝对聪明的假设，海盗1号无论怎么分都可能会被扔到海里去了。所以，1号首先要考虑的就是他的海盗兄弟们的聪明和理性究竟靠得住靠不住，否则先分者倒霉。 　　如果某人偏好看同伙被扔进海里喂鲨鱼。果真如此，1号自以为得意的方案岂不成了自掘坟墓！ 　　再就是俗话所说的“人心隔肚皮”。由于信息不对称，谎言和虚假承诺就大有用武之地，而阴谋也会像杂草般疯长，并借机获益。如果2号对3、4、5号大放烟幕弹，宣称对于1号所提出任何分配方案，他一定会再多加上一个金币给他们。这样，结果又当如何？ 　　通常，现实中人人都有自认的公平标准，因而时常会嘟嚷：“谁动了我的奶酪？”可以料想，一旦1号所提方案和其所想的不符，就会有人大闹……当大家都闹起来的时候，1号能拿着97枚金币毫发无损、镇定自若地走出去吗？最大的可能就是，海盗们会要求修改规则，然后重新分配。想一想二战前的希特勒德国吧！ 　　而假如由一次博弈变成重复博弈呢？比如，大家讲清楚下次再得100枚金币时，先由2号海盗来分……然后是3号……这颇有点像美国总统选举，轮流主政。说白了，其实是民主形式下的分赃制。 　　最可怕的是其他四人形成一个反1号的大联盟并制定出新规则：四人平分金币，将1号扔进大海……这就是阿Q式的革命理想：高举平均主义的旗帜，将富人扔进死亡深渊…… 　　制度规范行为，理性战胜愚昧！ 　　如果假设变为，是10人分100枚金币，投票50%或以上才能通过，否则他将被扔入大海喂鲨鱼，依此类推。50%是问题的关键，海盗可以投自己的票。因此如果剩下两个人，无论什么方案都会被通过，即100，0。 　　往上推一步，3个人时，倒数第三个人知道如果出现两个人的情况，因此它会团结第一个人，给他一个金币 　　“往前推一步。现在加一个更凶猛的海盗P3。P1知道———P3知道他知道———如果P3的方案被否决了，游戏就会只由P1和P2来继续，而P1就一枚金币也得不到。所以P3知道，只要给P1一枚金币，P1就会同意他的方案（当然，如果不给P1一枚金币，P1反正什么也得不到，宁可投票让P3去喂鱼）。所以P3的最佳策略是：P1得1枚，P2什么也得不到，P3得99枚。 　　P4的情况差不多。他只要得一票就可以了，给P2一枚金币就可以让他投票赞同这个方案，因为在接下来P3的方案中P2什么也得不到。P5也是相同的推理方法只不过他要说服他的两个同伴，于是他给在P4方案中什么也得不到的P1和P3一枚金币，自己留下98枚。 　　依此类推，最终P10的最佳方案是：他自己得96枚，给每一个在P9方案中什么也得不到的P2、P4、P6和P8一枚金币。
结果
　　结果，“海盗分金”最后的结果是P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7、P8、P9、P10各可以获得0、1、0、1、0、1、0、1、0、96枚金币。 　　在“海盗分金”中，任何“分配者”想让自己的方案获得通过的关键是，事先考虑清楚“挑战者”的分配方案是什么，并用最小的代价获取最大收益，拉拢“挑战者”分配方案中最不得意的人们。 　　真地是难以置信。P10看起来最有可能喂鲨鱼，但他牢牢地把握住先发优势，结果不但消除了死亡威胁，还获得了最大收益。而P1，看起来最安全，没有死亡的威胁，甚至还能坐收渔人之利，但却因不得不看别人脸色行事，结果连一小杯羹都无法分到，却只能够保住性命而已。

Answer 2

首先声明，此答案系本人经推理后一个字一个字码出来的，绝非复制党，且网上目前没有我这种答案。
答案：海盗一号得到99个金币，给四号一个金币，方案支持者一号、二号、四号。
推理：首先，每人都会给自己投一票，所以一号得到自己的一票。此时，他还需要两票。我们来看五号。五号是五人中最幸运的。首先，他的生存率是100%，而且如果三人都死了，只剩四号和五号两人，五号投反对票，四号也会因为未满足支持者过半而死，五号将得到全部金币。所以，五号永远也不会投支持票，一号就不必再理会五号。再来看三号。三号也很幸运。当轮到他时，一号与二号已经喂了鲨鱼，他只需要两票就可以获胜。算上他自己，还差一票。此时，四号为了保命一定会投支持票，即使一无所获。所以三号便可以轻松的得到100个金币，所以三号也不会投支持票，一号也不必理会三号。再看二号。二号的位置是最倒霉的，因为他的生存率无限接近于0，除非他保住一号。为什么呢？作为二号，要想活命，就至少需要三票，即使加上自己的一票，也还需要两票。而此时，三号与五号不会理会他，即使四号支持他，也会因为未满足过半同意而死。所以，二号与四号相同，即使一无所有，也要保住一号生存。此时，一号得到了他的第二票，免费的第二票。此时，一号还差一票，而努力的对象，便只有四号。我认为，可以这样做，分给四号一个金币（其实在这里只要给四号一点利益就可以得到其支持，一个银币甚至铜币都可以，此采用一个金币只是笔者偷懒，不愿算了）。作为此时的四号，有两个选择：一、支持一号，获得利益。即使一号死亡，也可以以三号为阵线，以求生存；二、放弃一号，支持三号，保住生命，一无所获。我想，四号不会放弃一号，或者说，四号不会放弃哪怕一个子儿的赚头。由此，一号的提议通过了，获得至少99个但少于100个的金币。
回答（可能出现的）质疑：
质疑一：三号可以跟四号说放弃一号，并许以重利（如两个金币），这样他也有赚头。
解答：在此需注意，这是群海盗，也就是说，三号可以说话不算话，而四号为了保命也不得不忍气吞声。如果四号没看出这是个陷阱，则有违“绝顶聪明”的前提。
质疑二：二号可以不同意自己一无所有，拉个垫背的。
解答：请注意“很理智”三个字，剩余不解释……

Answer 3

=
=!
看迷糊了....你应该发到数学专区,这个是文学区,谢谢!!!
回答者：
スス鱼座
-
高级经理
七级
2009-6-13
12:08
这题条件不足。
如果每个人写数完全随机，没有任何偏好，那么很显然，预期平均数肯定是50，所以我写35，这几乎就和博弈无关，而是和概率有关了。
我个人猜想，要用到博弈的话，则每个考生都以写数的平均数的70%为自己的目的，这就是一个静态不完全信息博弈了。
这种情况我花了蛮多时间计算求解，我的答案是0，不可置信，是的，我也这么觉得。
每个人都会考虑所有人的平均数，而使自己的数字等于平均数的0.7，每个人都这么考虑，最后大家会写0.
解释如下，假设就a、b两人写，b觉着a会写100，
那么b写700/13则达到自己的目标。（这个你自己算下看看）
a知道b会如此，于是以b写700/13为基准，写自己的数，循环反复，这实际就是不完全信息造成的结果，双方互相猜测，因为平均数也考虑进自己所写的数，所以计算过后导致自己写的数会无限接近于0.
这不是动态博弈，因为双方只写一次，而且先后顺序无所谓，关键的是双方决策之前的判断推导，实际上博弈论里称这是belief信念，自己要相信对方相信自己会做什么决策，然后自己再做决策。
答案不一定正确，不好意思。
回答者：
p仔7079202
-
经理
四级
2009-6-13
20:23
用博弈论的观点解决这个问题的话...
答案是...
不存在这样的一个均衡...
这是一个动态无均衡博弈....
就是说~~在任何状态下~~
总有至少一个参与者有动机改变自己的决策~~~
那么他改变决策后又继续是这种状态~~
其他人至少一个有改变决策的动机....
所以会无休止地改变下去...
正因为这是个无均衡无最优决策的博弈..
这个规则可以用于竞标会的规则...
希望能解答楼主的疑惑...
-----------------------------------
补充：看了
p仔7079202的解答后又有感想...
p仔7079202的解释是错的~~
首先是第一段...如果写数完全随机就不是博弈要考虑的问题了...
另外，如果只有两个人参与写数~~是存在均衡的...
就像
p仔7079202所说的~~~
只有两个人~~那么只要你写的数比对方小~~你就赢了~~所以~~最好写1~~大家都会这样想~~于是两个人都写1~~~
但是，只要参与人数超过3，你可以想想~~并不是写最小数字的人会赢~~对吧~？
因为这涉及了其余超过两个对手的决策...
因此这时候均衡消失了~~
大家无休止地猜测~~
而且我觉得胜者也是主要依靠好运气~~
并不会有一个比其他数字都更好的数字....
谢谢~~

Answer 4

=
=!
看迷糊了....你应该发到数学专区,这个是文学区,谢谢!!!
回答者：
スス鱼座
-
高级经理
七级
2009-6-13
12:08
这题条件不足。
如果每个人写数完全随机，没有任何偏好，那么很显然，预期平均数肯定是50，所以我写35，这几乎就和博弈无关，而是和概率有关了。
我个人猜想，要用到博弈的话，则每个考生都以写数的平均数的70%为自己的目的，这就是一个静态不完全信息博弈了。
这种情况我花了蛮多时间计算求解，我的答案是0，不可置信，是的，我也这么觉得。
每个人都会考虑所有人的平均数，而使自己的数字等于平均数的0.7，每个人都这么考虑，最后大家会写0.
解释如下，假设就A、B两人写，B觉着A会写100，
那么B写700/13则达到自己的目标。（这个你自己算下看看）
A知道B会如此，于是以B写700/13为基准，写自己的数，循环反复，这实际就是不完全信息造成的结果，双方互相猜测，因为平均数也考虑进自己所写的数，所以计算过后导致自己写的数会无限接近于0.
这不是动态博弈，因为双方只写一次，而且先后顺序无所谓，关键的是双方决策之前的判断推导，实际上博弈论里称这是belief信念，自己要相信对方相信自己会做什么决策，然后自己再做决策。
答案不一定正确，不好意思。
回答者：
P仔7079202
-
经理
四级
2009-6-13
20:23
用博弈论的观点解决这个问题的话...
答案是...
不存在这样的一个均衡...
这是一个动态无均衡博弈....
就是说~~在任何状态下~~
总有至少一个参与者有动机改变自己的决策~~~
那么他改变决策后又继续是这种状态~~
其他人至少一个有改变决策的动机....
所以会无休止地改变下去...
正因为这是个无均衡无最优决策的博弈..
这个规则可以用于竞标会的规则...
希望能解答楼主的疑惑...
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补充：看了
P仔7079202的解答后又有感想...
P仔7079202的解释是错的~~
首先是第一段...如果写数完全随机就不是博弈要考虑的问题了...
另外，如果只有两个人参与写数~~是存在均衡的...
就像
P仔7079202所说的~~~
只有两个人~~那么只要你写的数比对方小~~你就赢了~~所以~~最好写1~~大家都会这样想~~于是两个人都写1~~~
但是，只要参与人数超过3，你可以想想~~并不是写最小数字的人会赢~~对吧~？
因为这涉及了其余超过两个对手的决策...
因此这时候均衡消失了~~
大家无休止地猜测~~
而且我觉得胜者也是主要依靠好运气~~
并不会有一个比其他数字都更好的数字....
谢谢~~

Answer 5