Question

已知f(x)在R是偶函数，且x>0时f(x)=x^2+2x+1，求在R上的f（x)解析式

解题过程：设x=<0,则有-x>=0,由偶函数得到：
f(x)=f(-x)=(-x)^2+2(-x)+1=x^2-2x+1
所以 x>0时f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2>0
x<0时f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2>=0

为什么f(x)=f(-x)=(-x)^2+2(-x)+1=x^2-2x+1，虽然 f(x)在R上是偶函数，可x≠-x

Answer 1

这需要代入数字看结果的，而不是对比方程。

比如说f(1)=f(-1)，f(2)=f(-2). 

y轴两侧的函数是分段的，所以解析式也不一样，但是这并不影响它成为偶函数。

楼主可以看一看下面的图：

追问

那一开始，不就可以是f(-x)=f(x)=x^2+2x+1了吗

追答

可以啊。
当x<0时：
f(-x)=x^2+2x+1，
所以f(x)=x^2-2x+1，

原函数就是：当x≥0时，f(x)= x^2+2x+1，当x<0时，f(x)=x^2-2x+1.

Answer 2

这个是偶函数的性质：f(x)=f(-x)。
就是说，如果题目告诉你f(x)=f(-x)，那么你就能下结论：f(x)是偶函数！

Answer 3

f(x)=|x|^2+2|x|+1

对于R上的偶函数f(x)，如果当x>0时有f(x)任意显形式，一般是初等的多项式

那么，f(|x|)所得的就是f(x)在R上的显形式

反之，当x<0有显形式，则f(-|x|)所得的就是f(x)在R上的显形式

更一般的，R上函数关于x=a对称，x>a有f(x)显形式，则f(|x-a|)是f(x)在R上的显形式，反之x<a则是f(-|x-a|)

Answer 4

(x∈[4,6])又f(x)=f(4-x)=-2（4-x) 1 =-8 2x 1 =2x-7 已知f(x)是定义域在R上的偶函数,f(x)=f(4-x),且当x∈[-2,0]时