Question

2的29次方是一个9位数，这个9位数各个位置上的数字都不一样，问0到9哪个数字没出现？请给出解题方法。

老师给的方法：
平方数 2^1 2^2 2^3 2^4 2^5 2^6 2^7
除以9后余数 2 4 8 7 5 1 2
完成一个循环
然后用29/6得4余5
9-5=4
则知道2^29 中4没有出现
谁能解释其中道理

Answer 1

由同余知识
2与-1模3同余所以
2^29与(-1)^29模3同余
2^29除以3余数为-1也就是2，所以这个数的各位数字之后除以3后余数也为2
所以没出现的数字为1，4，7中的一个
个位数字是2，4，8，6循环，所以得到个位数字是2
因为2^29能被4整除,所以后两位能被4整除
所以十位上可能是1，3，5，7，9
只分析到这了，等高人吧

追问

比较靠谱

追答

2^29
=8^9*4 ≡ (-1)^9*4 mod 9
所以2^29次方除以9余-4
得到各位数字之和除以9余-4
所以去掉的数字是4

三根线的等号表示同余不是恒等。。。
突然发现一上来直接才9取模就可以了，前面的都不用要了.....

追问

小学奥数题，
有方法解释得小学生懂吗？
六年级

追答

我记得同余也是小学竞赛的内容了吧，印象里我小学好像就学过了。
这个题除去用同余理论别的方法真不好做。其实只是用到了同余的几个性质，这个在数论题中是非常有用的，你可以提前先讲讲同余的那几个性质，其实主要就用到了两个
1）a≡b mod c(a和b模c同余，就是说a,b除以c得到的余数相同)
a*d≡b*d mod c(d和c互质)
2)a≡b mod c
则a^n≡b^n mod c

Answer 2

2^29=536870912

4木有出现

追问

答案是对的，我用计算器也算过。方法呢？有计算方法吗

追答

一个整数除以9所得的余数，和这个整数各个数位的数字之和除以9所得余数相同，这就是十进制中的弃九法

9个数字缺1个，可以考察这个整数除以9的余数，2^n对于9的余数存在周期规律，比如你的老师的做法，或者利用2^6除以9余1，利用同余的规律，2^24除以9余1，剩下的2^5除以9余5

由于0~9相加除以9余0，所以缺1个数字余5，缺的那个就是4

Answer 3

2^1 2^2 2^3 2^4 2^5 2^6
2 4 8 16 32 64
mod9同余 2 4 8 7 5 1
2^7 2^8 2^9 2^10 2^11 2^12
128 256 512 1024 2048 4096
mod9同余 2 4 8 7 5 1
所以2的次方除以9的余数以6为周期分布 29除以6=4周.....5。所以2^29除以9余5 假设缺的数字是x 那2^29数字和为45-x 45-x除以9余5 求出x为4

Answer 4

题干不详，不能解答