Question

f(x)=ln(x+根号下x^2+1)是奇函数还是偶函数

Answer 1

第一步，先判定义域是否关于x轴对称。可求f(x)的定义域为全体实数，满足要求；
第二步:
f(-x)=ln[-x+根号下(-x)^2+1],把中括号内的式子进行分母有理化，把[-x+根号下(-x)^2+1]看成[-x+根号下(-x)^2+1]/1然后分子分母同乘以(x+根号下x^2+1)可得1/(x+根号下x^2+1),即f(-x)=ln[1/(x+根号下x^2+1)]=-ln(x+根号下x^2+1)=-f(x);所以是奇函数。

Answer 2

解：令f(x)=ln(x+√(x²+1))
∵f(-x)=ln(-x+√((-x)²+1))
=ln(-x+√(x²+1))
=ln((-x+√(x²+1))(x+√(x²+1))/(x+√(x²+1)))
=ln(1/(x+√(x²+1)))
=-ln(x+√(x²+1))
=-f(x)
∴函数ln(x+√(x²+1))是奇函数。

追问

第三步第四步不明白，能麻烦再说清楚点吗

追答

解：令f(x)=ln(x+√(x²+1))
∵f(-x)=ln(-x+√((-x)²+1))
=ln(-x+√(x²+1))
=ln((-x+√(x²+1))(x+√(x²+1))/(x+√(x²+1))) (分子分母同乘x+√(x²+1))
=ln(1/(x+√(x²+1))) (应用两数平方差公式化简：(-x+√(x²+1)(x+√(x²+1))=-x²+(x²+1)=1)
=-ln(x+√(x²+1))
=-f(x)
∴函数ln(x+√(x²+1))是奇函数。

Answer 3

解：x+根号下x^2+1恒大于0，则定义域为R，关于原点对称
又 f(-x)=ln(-x+根号下x^2+1)=ln[1/(x+根号下x^2+1)]==ln(x+根号下x^2+1)^-1=-ln(x+根号下x^2+1)=-f(x)
则函数为奇函数

Answer 4

偶函数。。 用 -x 置换 x .

Answer 5

f(-x)+f(x)=ln(x^2+1-x^2)=ln1=0，奇函数。