Question

已知双曲线的两条渐近线方程为直线l1：y=-x/2和l2：y=x/2，焦点在y轴上，实轴长为2√3，O为坐标原

（1）求双曲线的方程
（2）设P1、P2分别是直线l1和l2上的点，点M在双曲线上，且向量P1M=2向量MP2，求△P1OP2的面积
要详细过程 谢谢
双曲线方程是x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)

Answer 1

1.因为焦点在y轴上，且实轴长为2√3，故可设双曲线方程为y^/(2√3/2)^ -x^/b^=1，即y^/3 -x^/b^=1
而双曲线的渐近线方程是y=±0.5x，所以√3 /b=0.5,b=2√3
所以双曲线方程为y^/3 -x^/12=1

2.因为P1,P2分别在L1:y=-0.5x与L2:y=0.5x上，所以可设两点坐标分别为
P1(x1,-0.5x1),P2(x2,0.5x2)
而原点O的坐标为(0,0)，于是可得向量OP1={x1,-0.5x1},向量OP2={x2,0.5x2}
于是向量OM=0.5*{x1+x2,0.5(x2-x1)}={(x1+x2)/2,(x2-x1)/4}
可得出M点坐标为((x1+x2)/2,(x2-x1)/4)
而M在双曲线上，故将M坐标代入双曲线方程：
[(x2-x1)^/4^]/3 - [(x1+x2)^/2^]/12 =1
化简可得到:x1*x2=-12 ①

S△P1OP2=|OP1|*|OP2|*sin∠P1OP2 /2
=(|OP1|*|OP2|*cos∠P1OP2) * tan∠P1OP2 /2
=（向量OP1 点乘 向量OP2）*tan∠P1OP2 /2
=(x1*x2-0.5x1* 0.5x2) *tan∠P1OP2 /2
=(3/8)*x1*x2 *tan∠P1OP2
将 ①式代入，可得：
S△P1OP2=(3/8)*(-12)*tan∠P1OP2=(-9/2)*tan∠P1OP2 ②
故问题的关键为求出∠P1OP2的正切值，需结合图像考虑
前方的 ①式中，x1*x2<0,故P1，P2两点根据图像上的判断必位于x轴的同侧，即或者都在x轴的上方，或者都在其下方，根据此位置可以判断出，∠P1OP2必为大于90度的角，其正切值tan∠P1OP2 必小于0（其实这也是验证了前方②式中求三角形P1OP2面积时，要想使三角形面积为正，则必须使tan∠P1OP2 <0这一个隐含条件）
显然，tan∠P1OP2可以通过二倍角公式，由L1直线的斜率(即OP1与x轴所成夹角的正切值)0.5这个值来求,然后取负即可:tan∠P1OP2 =-2*0.5/([1-(0.5)^]
=-4/3
代入②式可得：
S△P1OP2=(-9/2)*(-4/3)=6

追问

太假了吧 这个我看过了 你专业点好吗 连问题都和我这个不一样就copy 动动脑子

追答

第一问是一样的吧无非你写了个1/2人家写了个0.5
第二问没仔细看，觉得差不多
设P1(-2y1,y1)p2(-2y2,y2) M(X0,Y0)
P1M=2P2M以及M在双曲线上
得到y1y2=27/8
S=1/2|OP1||OP2|*SIN(OP1,OP2)
=1/2OP1点乘OP2*TAN(OP1,OP2)
=1/2(-4y1y2+y1y2)*(-1/2-1/2)/(1-(-1/2)*1/2)
=27/4

追问

高手啊
S=1/2|OP1||OP2|*SIN(OP1,OP2)
=1/2OP1点乘OP2*TAN(OP1,OP2)
=1/2(-4y1y2+y1y2)*(-1/2-1/2)/(1-(-1/2)*1/2)

不过这两部分没明白 怎么正弦变正切的 还有数是怎么带的 谢谢

追答

正弦变正切:
OP1点乘OP2这个是指向量之间的乘积
OP1点乘OP2=|OP1||OP2|*cos夹角吧
所以相当于先乘cos角再除一个cos角，除的和原来的sin放一起正好是tan,tan又刚好斜率，所以用了个差的斜率公式