Question

已知：如图△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，E为BC上一点（不与D点重合），连接AE，过C点作CF⊥AE于F，连接DF

已知：如图△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，E为BC上一点（不与D点重合），连接AE，过C点作CF⊥AE于F，连接DF。
（1）若∠CAB＝90°，如图1，求证：CF＝AF＋√2DF；
（2）若∠CAB＝60°，如图2，则线段CF，AF，DF的数量关系为？
（3）若∠CAB＝90°，BC=2√10，DF=2，过E点做EM⊥DF于M，直线EM与AC交于点N,求线段MN的长。

Answer 1

这有个原题，我觉得差不多，贴过来了
(1)做DG垂直于DF交CF于G
因为AD垂直于DC，AF垂直于FC，所以，AFDC四点共圆
所以∠FAD=∠FCD，∠FDA=∠FDC-90度=∠GDC
因为AD=DC(等腰直角三角形斜边高等于斜边一半)
所以△AFD全等于△CGD
△FDG为等腰直角三角形FG=FD*根号2
所以CF=CG+GF=AF+GF=AF+FD*根号2
（2）与（1）一样做DG垂直于DF，交CF于G
可得AF=CG*根号3（相似三角形边之比）
FD=FG*(1/2)根号3（30度直角三角形）
所以FC=AF/根号3+FD(2/3)根号3
（3）BC=2根号10，BD=DC=AD=根号10，AB=AC=2根号5
因为AFDC四点共圆
所以三角形EDF相似于三角形EAC
所以DF/AC=ED/AE=EF/EC=1/根号5
5ED^2-ED^2=AD^2=10
ED=(1/2)根号10
AE=(5/2)根号2
EC=(3/2)根号10
EF=(3/2)根号2
EM=3/2
三角形AEN相似于三角形ACE
EN/EC=AE/AC=((5/2)根号2)/2根号5=(1/4)根号10
EN=15/4
MN=EN-EM=9/4