Question

设数列Xn有界，lim(n趋近于无穷）Yn=0,证明lim(n趋近于无穷）XnYn=0

Answer 1

用定义证明即可，
因为数列{Xn}有界
所以存在常数C》0，使得
|Xn|<C，
因为数列{Yn}的极限是0
则对于任意给出的e,总存在N,使得n>N时,|Yn|<e/C
于是当n>N的时候|XnYn|=|Xn||Yn|<C*e/C=e
由于e的任意性
所以数列{XnYn}的极限是0

Answer 2

数列Xn有界 则存在M使得|Xn|≤M 那么-M|Yn|≤|XnYn|≤M|Yn| 同时取极限 得0≤lim(n趋近于无穷）|XnYn|≤0 即证明lim(n趋近于无穷）XnYn=0

Answer 3

因为数列{Yn}的极限是0
则对于任意的e,存在N(e),使得n>N时,|Yn|<e
因为数列{Xn}有界
所以不妨假设|Xn|<M
于是当n>N(e/M)的时候|XnYn|<e
由于e的任意性
所以数列{XnYn}的极限是0

Answer 4

因为x_n有界，所以|x_n|<=M,所以lim(n趋向于无穷)x_nY_n=0

Answer 5

详细答案在高等数学第三版第39页