Question

一艘小船位于200m宽的河正中A点处,从这里向下游...

一艘小船位于200m宽的河正中A点处,从这里向下游100√3 m有一危险区,当时水流速度为4m/s.为了使小船能避开危险区沿直线到达河岸,小船在静水中的速度至少是多少?

希望有详细的解题过程!!!!!!

Answer 1

设小船在静水中的速度为V。
设 V 的方向与 水流方向的夹角为 α。
把V分解。
在垂直于水流方向的速度 Vy = V*sinα
在平行于水流方向的速度 Vx = V*cosα
为保证 船沿直线到达对岸。V必须是恒量。
到达对岸所需要的时间 T = 100/Vy = 100/(V*sinα)
在T时间内，小船沿水流方向的运行距离
S = (Vx+V水)*T
= (Vx + 4)*T
= (V*cosα + 4) * 100/(V*sinα)

根据题目意义，有 S≤100√3 。即
(V*cosα + 4) * 100/(V*sinα) ≤100√3
(V*cosα + 4) ≤√3*V*sinα
V*(√3*sinα - cosα) ≥ 4

如果 (√3*sinα - cosα) 小于0，那么V必须是负数 上式才能成立，意味着船在静水中要逆水向上走，并进一步意味着 α 大于90度。而α 大于90度时（同时小于180度）， (√3*sinα - cosα) 的值域 始终大于0。相互矛盾。因此 (√3*sinα - cosα) 不小于0
如果 (√3*sinα - cosα) 等于0，那么 以上不等式无解。因此 (√3*sinα - cosα) 必须大于0。

因此 V ≥ 4/(√3*sinα - cosα) = 2/sin(α-30)
其中 α > 30度。以保证 (√3*sinα - cosα) > 0。

在α大于30度的条件下，对应每个给定的α，都可以通过上式求出V的最小值。

而在诸最小值中，以 sin(α-30)取最大值时 对应的V 最小。
即 α = 120 度时，V = 2 m/s。

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附录 V = 2m/s 与楼上的 4√3 /3 ≈ 2.3 （m/s）相比，更小。

Answer 2

不完全同意，毕竟有难题上网讨论一下对大家都有好处^_^
我来回答吧：自己先画个图，小船只要船头垂直向岸边一直航行就行，所用时间最长＝水流过100√3 m的时间＝25√3 （s）
所以小船速度最小＝100/（25√3）＝4√3 /3（m/s）
说得不详细，慢慢理解吧，很简单的^_^

Answer 3

我同意。这么简单的问题，自己不会吗？别为了积分 耽误下一代。

不好意思，我收回我上面的话。看来这题目不简单。带绿字的专家都答错了。看来专家也象我一样，想问题总不全面啊。谁告诉你小船的运行轨迹必须是垂直于河岸才会最小了？想当然是不行的啊。