Question

勾股定理的题！！

22、（8分）中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：
　　
（1） 你能用下面的图形也来验证一下勾股定理吗？试一试！
（2） 你自己还能设计一种方法来验证勾股定理吗？

Answer 1

解：（1）∵S梯形ABCD= 12（a+b）（a+b）= 12（a2+b2）+ab，S梯形ABCD=2× 12ab+ 12c2
∴ 12（a2+b2）+ab=2× 12ab+ 12c2∴a2+b2=c2
（2）在Rt△ABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D．
在△ADC和△ACB中，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∠CAD=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
AD：AC=AC：AB，
即AC2=AD•AB
同理可证，△CDB∽△ACB，从而有BC2=BD•AB．
∴AC2+BC2=（AD+DB）•AB=AB2，即a2+b2=c2．