Question

请问这道题求极限用泰勒公式怎么求?急！

我会用洛必达法则求，但是我想知道这道题用泰勒公式怎么做。
最好写出具体的过程。好的话我会追加悬赏的。

Answer 1

记y=(1+x^2)^(1/2)，利用Taylor展开得到y=1+1/2*x^2+o(x^3)
1/ln(x+y)-1/ln(1+x)
=[ln(1+x)-ln(x+y)]/[ln(1+x)ln(x+y)]
再做Taylor展开得到
ln(1+x)=x-1/2*x^2+o(x^3)
ln(x+y)=ln(1+x+1/2*x^2+o(x^3))=x+1/2*x^2+o(x^3)-1/2*[x+1/2*x^2+o(x^3)]^2+o[x+1/2*x^2+o(x^3)]^3=x+o(x^3)
代进去得到
ln(1+x)-ln(x+y)=-1/2*x^2+o(x^3)
ln(1+x)ln(x+y)=x^2+o(x^3)
所以[ln(1+x)-ln(x+y)]/[ln(1+x)ln(x+y)]-> -1/2

追问

谢谢，还有个疑问就是皮亚诺余项的阶数，为什么是o(x^3)而不是o(x^2)呢？？

追答

(1+x)^(1/2)=1+1/2*x+o(x)=1+1/2*x+O(x^2)
可以得到(1+x^2)^(1/2)=1+1/2*x^2+o(x^2)=1+1/2*x^2+O(x^4)
这里既然是O(x^4)，换成o(x^3)也没问题

注意小o(x)和大O(x)的区别，前者是无穷小量，后者是有界量。