Question

已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD∶BC=1∶2，点E为边AB中点，点F是边BC上一动点，线段CE与线段DF交于点G.

连接AG，若AD=2，AB=3，且△ADG与△CDF相似，求BF的长

Answer 1

解∵ABCD是等腰梯形，AD=2，AD：BC=1：2，∴BC=4，
∵AD∥BC，∴∠ADG=∠DFC，
∵△ADG与△CDF相似．
∴∠AGD=∠FDC或∠DAG=∠FDC．
情况1，当∠AGD=∠FDC时，有AG∥DC，延长CE交DA的延长线于点M，可得AM=4，
由 AG/DC=MA/MD得 AG/3=4/6，
∴AG=2
∵△ADG与△CDF相似，且∠AGD=∠FDC，
∴ AG/AD=DC/CF，即 2/2=3/CF，
∴CF=3
∴BF=1．
情况2，当∠DAG=∠FDC时，延长AG交BC于点T，可得△ABT∽△FCD，
则 ABBT=FCCD，由AD∥BC得 AD/FT=DG/GF=DM/CF，
∴FT= (4-x)/3，
∴ 3/[x+(4-x)/3]=(4-x)/3，
整理得：2x²-4x+11=0，
∵△=16-88＜0，
∴无解；
∴BF=1．

Answer 2

解：（1）∵BF：FC=1：3，∴设BF=k，
则FC=3k，BC=4k，∵AD：BC=1：2，∴AD=2k，
如图：延长CE交DA的延长线于点M，
∵AD∥BC，
∴AMBC=
AEEB，且DGGF=
DMCF
∵点E为边AB中点，
∴AM=BC=4k，
∴DM=DA+AM=2k+4k=6k，
∴DGGF=
63=2．

（2）AG∥DC，且AGDC=
23．
证明：∵AD∥BC，
∴MGGC=
DGGF=
21，
∵MAAD=
4a2a=
21，
∴MGGC=
MAAD，
∴AG∥DC．
∴AGDC=
MAMD=
23．

（3）∵ABCD是等腰梯形，AD=2，AD：BC=1：2，
∴BC=4，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠DFC，
∵△ADG∽△CDF，
∴∠AGD=∠FDC或∠DAG=∠FDC．
情况1，当∠AGD=∠FDC时，有AG∥DC，延长CE交DA的延长线于点M，可得AM=4，
由AGDC=
MAMD得AG3=
46，
∴AG=2
∵△ADG与△CDF相似，且∠AGD=∠FDC，
∴AGAD=
DCCF，即22=
3CF，
∴CF=3
∴BF=1．
情况2，当∠DAG=∠FDC时，延长AG交BC于点T，可得△ABT∽△FCD，
则ABBT=
FCCD，由AD∥BC得ADFT=
DGGF=
DMCF，
设BF=x，可得FT=4-x3，
∴3x+
4-x3=
4-x3，
整理得：2x2-4x+11=0，
∵△=16-88＜0，
∴无实数根；
∴BF=1．