Question

已知函数f(x)=x^2 ax 2ln(x-1),a是常数。

（1）证明曲线y=f（x）在点（2，f（x））的切线经过y轴上一个定点；
（2）若f'（x）＞（a-3）x^2对任意x∈（2，3）恒成立，求a的取值范围；（参考公式：3x^3-x^2-2x+2=（x+1）（3x^2-4x+2））
（3）讨论函数f（x）的单调区间.
求详细做法 我做到第二问就不会了 第一问我会 今天这题跟他们发生分歧了。。。。。。。具体的步骤 本人比较笨。。。。谢谢 谢谢大神们的解答
我半夜也会起来看看有没有人回答的。。。。请能答的就答上吧。。。。
再次谢谢了

Answer 1

函数的解析式上缺少运算符号，实在无能为力
大体思路是
(1)求出切线方程，提出参数a，系数为0，求出定点
(2)求出导数，代入不等式，分离参数a，即化成a<g(x)的形式
求出g(x)在（2，3）的最小值，所求的a范围是a<g(x)min
(3)求导以后，通分并进行因式分解，要由式子的具体形式确定怎样对参数a进行讨论
来确定单调区间，一般以导数等于0时，是否在x>1内有解，作为讨论的分界点

追问

我的错。。。。对不起。。。问题重新挂上
已知函数f（x）=x^2+ax+2ln（x-1），a是常数。

追答

(1)f'(x)=2x+a+2/(x-1)
f'(2)=4+a+2=6+a f(2)=4+2a
切线为y-(4+2a)=(6+a)(x-2) 即ax+6x-y-8=0
由x=0且6x-y-8=0得定点是(0，-8)
(2)2x+a+2/(x-1)＞(a-3)x²
因x-1>0，两边同乘(x-1)得
2x(x-1)+a(x-1)+2>(a-3)x²(x-1)
2x²-2x+a(x-1)+2>x²(x-1)a-3(x³-x²)
3x³-x²-2x+2>(x-1)(x²-1)a
(x+1)(3x²-4x+2)>(x-1)²(x+1)a
3x²-4x+2>(x-1)²a
a1
f'(x)=2x+a+2/(x-1)=(2x²-2x+ax-a+2)/(x-1)
=[2x²+(a-2)x+2-a]/(x-1)
令h(x)=2x²+(a-2)x+2-a 则h(1)=2>0
Δ=(a-2)²+8(a-2)=(a-2)(a+6)
1、当Δ≤0 即-6≤a≤2时，h(x)≥0恒成立，故f'(x)≥0恒成立
f(x)在(1，+∞)是增函数
2、当Δ>0即a>2或a2则(2-a)/40 观察抛物线图象
可知h(x)≥0在(1，+∞)恒成立，
故f(x)在(1，+∞)是增函数
(2)若a1 由抛物线图象观察
求出h(x)=0的两根(用求根公式，这里我就用x1，x2表示)
f(x)在(1，x1)和(x2，+∞)是增函数，在(x1，x2)是减函数

由于运算有点复杂，你仔细验证一下，我不能保证一定正确！