Question

已知，如图，△ABC中，CE、BD分别是AB、AC边上的高线，在BD上截取一点P，使BP=AC，在CE的延长线上

已知，如图，△ABC中，CE、BD分别是AB、AC边上的高线，在BD上截取一点P，使BP=AC，在CE的延长线上取一点Q，使CQ=AB。连接AP、AQ，那么AQ与AP的关系是啥？证明

Answer 1

∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠ACE+∠CAE=90°，∠ABD+∠BAD=90°．
∴∠ACE=∠ABD．
∵BP=AC，CQ=AB，
∴△ACQ≌△ABP．
∴AQ=AP．

Answer 2

AQ=AP且AQ⊥AP
∵BD、CE是△ABC的高
∴∠ACE+∠CAE=90°，∠ABD+∠BAD=90°．
∴∠ACE=∠ABD．
∵BP=AC，CQ=AB，
∴△ACQ≌△ABP．
∵△ABP≌△QCA
∴∠BPA=∠CAQ,AP=AQ
∵∠BPA=∠DAP+∠PDA=∠DAP+90°
∴∠CAQ=∠DAP+90°
∴∠QAP=90°
∴AQ⊥AP