Question

已知函数f(x)=1/4x^4+1/3ax^3-a^2x^2+a^4-1（a＞0）

(1)求函数y=f(x)的单调区间
(2)若函数y=f(x)恰有两个零点，求a的取值范围
请看清题目，不要乱答

Answer 1

y'=x^3+ax^2-2a^2x
令y'=0,则有：
x(x^2+ax-2a^2)=0
x(x-2a)(x+a)=0
所以：
x=0,x=2a,x=-a.
(1)当x<-a或者0<ax<2a时候，y'<0,函数单调减，有减区间(-∞，-a）∪（0,2a）
(2)当-a<x<0或者x>2a时候，y'>0,函数单调增，有增区间(-a,0)∪(2a,+∞）

因为：
f(-a)=-a^4/12-1<0
f(2a)=-a^4/12-1<0
结合函数的单调性，要求函数只有两个零点，必有：
f(0)<0
即：a^4-1<0
(a^2+1)(a^2-1)<0
所以：
a^2-1<0
(a-1)(a+1)<0
所以：0<a<1.