Question

如图,AB为圆O的直径,BC切圆O于点B,AC交圆O于点P,CE=BE,求证PE是圆O的切线。

Answer 1

证明：连接OP，OE。 在△ABC中，CE=BE，OA=OB（⊙O半径）则E是CB中点，O是AB中点， 则：OE∥AC，∴∠A=∠EOB， 又∵圆周角等于圆心角的一半，∴∠POB=2∠A 则：∠POE=2∠A-∠BOE=∠BOE 在△OPE和△OPB中： OP=OB，∠POE=∠BOE，OE=OE ∴△OPE≌△OPB，∴∠OPE=∠OBE ∵BC切圆O， ∴∠OBE=90° ∴∠OPE=90° ∴PE是圆O的切线。

Answer 2

连接BP，OP，
∵AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点P，CE=BE，点E在BC上，
∴∠APB=90°，∠ABC=90°，∠BAC=∠PBC，
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠C=180°-∠BAC-∠C=∠ABC=90°，
∴PE=BE=CE，
∵OB=OP，
∴∠OPE=90°，
∴PE是⊙O的切线．

Answer 3

连接OP和BP则角APB=90（半圆所对的圆周角）
所以角ABP=角PAB=45=角OPB，又因为AB⊥BC
所以角PBC=角PCB=45，又BE=CE，所以角BPE=45=角OPB
即OP⊥PE
所以PE是圆O的切线