Question

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如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m，0），其中m＞0．
（1）求点E、F的坐标（用含的式子表示）；
（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；
（3）如图（2），设抛物线y=a（x-m-6）2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=CB=10，AB=DC=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，
由折叠对称性：AF=AD=10，EF=DE，
在Rt△ABF中，BF=根号（AF²-AB²）=根号（100-64）=6，
∴CF=4，
设EF=x，则EC=8-x，
在Rt△ECF中，42+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
∴CE=3，
∵B（m，0），
∴E（m+10，3），F（m+6，0）；
（2）分三种情况讨论：
若AO=AF，
∵AB⊥OF，
∴BO=BF=6，，
∴m=6，
若OF=FA，则m+6=10，
解得：m=4，
若AO=OF，在Rt△AOB中，AO²=OB²+AB²=m²+64，
∴（m+6）²=m²+64
解得：m=7/3
∴m=6或4或7/3
（3）由（1）知：E（m+10，3），A（m，8）．
∴a(m-m-6)²+h=8，a(m+10-m-6)²=3
得：a=1/4，h=-1
∴M（m+6，-1），
设对称轴交AD于G，
∴G（m+6，8），
∴AG=6，GM=8-（-1）=9，
∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，
∴∠OAB=∠MAG，
∵∠ABO=∠MGA=90°，
∴△AOB∽△AMG，
∴OB/MG=AB/AG，即：M/9=8/6
∴m=12

Answer 2

（1）E(m+10,3) F(m+6,0)
(2) m=6
(3) a=1/4,h=-1,m=14

追问

可以给过程不？

追答

AF=AD=10，AB=8，由勾股定理得BF=6,从而FC=4
又DE+EC=8 DE=FE
FE^2=FC^2+CE^2,得DE=FE=5,CE=3
所以（1）E(m+10,3) ，F(m+6,0)
（2是等腰三角形，有AO=AF，又ABOF，得AB也为△OAF的中线。
所以OB=BF=6。
（3）由图知，A点坐标为（m,8）,E(m+10,3)，，得
8=36a+h,3=16a+h,解得：a=1/4,h=-1，再将M（m+5,y1）代入抛物线y=1/4（x-m-6）2-1，得y1=-3/4，令AM交BC于G。
作MP垂直BC于P，有△OAG相似于△MPG，于是
MP/OA=GP/AG得GP=3/7。
所以OG=m+(5-3/7)=m+32/7
又△OAG相似于△OBA，得OA^2=OB*OG,解得m=14。