Question

a.b.c是三角形ABC的三边，a＋c＝2b,且方程a(1－x平方）＋2bx+c(1+x平方）＝0有两个相等的实数根。求sin...

a.b.c是三角形ABC的三边，a＋c＝2b,且方程a(1－x平方）＋2bx+c(1+x平方）＝0有两个相等的实数根。求sinA+sinB

Answer 1

解：(1) a（1－x²）＋2bx＋c（1＋x²）=（c-a)x²＋2bx＋(a+c)=0
有两个相等实数根，故Δ=(2b)²-4*(c-a)(c+a)=4(b²+a²-c²)=0
故ΔABC为直角三角形，且角C为90度。
（2）3c＝a＋3b，两边同时平方得：9c²=(a+3b)²
又： c²=b²+a²
由两式解得a/b=3/4 ,a/c=3/5, b/c=4/5
sinA=a/c=3/5,sinB=b/c=4/5 ,
进而求解sinA:sinB

Answer 2

a(1-x^2)+2bx+c(1+x^2) = 0
a-ax^2+2bx+c+cx^2 = 0
(c-a)x^2+2bx+a+c=0
有两个相等的实数根
判别式 = (2b)^2 - 4(c-a)(a+c) = 0
4b^2-4(c^2-a^2) = 0
a^2+b^2=c^2
三角形为以C为直角的直角三角形
a+c=2b
c=2b-a
a^2+b^2=(2b-a)^2 = 4b^2-4ab+a^2
3b^2-4ab=0
3b=4a
a：b = 3：4
勾三股四弦五
a:b:c = 3:4:5
sinA=3/5
sinB=4/5
sinA+sinB = 7/5