Question

聪明的朋友拜托帮我解决一下这道证明题。高数里面的，关于讲到闭区间上连续函数的性质这一节。

证明：设f(x)在（-∞，+∞）内连续，x1,x2是f(x)=0的两个相邻的根（x1<x2）,若存在x0∈(x1,x2),使f(x0)>0(或f(x0)<0),则对任意一个x∈（x1,x2）,均有f(x)>0(或f(x)<0).
ps:这里的x1,x2，1,2是下标啦，不太好打出来那个形式。

Answer 1

证明：因为f(x)在闭区间[x1，x2]连续，x1和x2是两个相邻的两根，
所以对于x∈（x1,x2），f（x） ≠ 0.。
反证法，设f（x0）>0，若存在x’∈（x1,x2），f（x’）<0，
由零点定理知存在ξ∈（x0,x‘）∈（x1,x2）[或者ξ∈（x0,x‘）∈（x1,x2）]，
f（ξ）=0，与假设矛盾
所以在x∈（x1,x2），f（x）恒大于0。
若f（x）<0，同理可证，对任意一个x∈（x1,x2），f（x）恒小于0
证毕

Answer 2

反证法：
假设存在x3∈(x1,x2),x4∈(x1,x2),
且f(x3)>0,f(x4)<0,
则f(x3)f(x4)<0
所以在x3,x4 之间必存在x使得f(x)=0，
即函数f(x)在（x1,x2）区间内有交点。
与题目 “x1,x2是f(x)=0的两个相邻的根（x1<x2）”相矛盾，
故假设不成立。
故对任意一个x∈（x1,x2）,均有f(x)>0(或f(x)<0).