Question

数列｛an｝中，a1=2，a2=3，且｛an×an+1｝是以3为公比的等比数列，记为bn=a2n-1+a2n

（1）分别求a3，a4，a5，a6的值
(2)求证：｛bn｝是等比数列

Answer 1

a2×a3=3×(a1×a2),解得a3=6,
其实a(n+1)×a(n+2)=3×an×a(n+1),消去a(n+1)后,有a(n+2)=3an(第二问要用）
那么可以知道a4=3a2=9,a5=3a3=18,a6=3a4=27
由给出bn的公式可知b(n+1)=a(2n+1)+a(2n+2)，而a(2n+1)=3a(2n-1),a(2n+2)=3a2n,即有
b(n+1)=3a(2n+1)+3a(2n+2)=3bn，得证。