Question

已知a>0.函数f(x)=x3-ax。(1)当a=2时,判断函数f(x)在[1,+∞)上的单调性并证明

已知a>0.函数f(x)=x3-ax。
(1)当a=2时,判断函数f(x)在[1,+∞)上的单调性并证明。（不能取具体数字代入）
(2)若使f(x)在[1.+∞）上为增函数，求a的范围。

Answer 1

解：（1）当a=2时,f(x)=x^3-ax=x^3-2x，
f'(x)=3x^2-2，
f'(x)>0时，函数单调递增，f'(x)<0时，函数单调递减，
所以在区间(√6/3,+∞)单调递增，
所以在区间(1，+∞)单调递增，
（2）f'(x)=3x^2-a，
若使f(x)在[1.+∞）上为增函数，
则x=1时，f'(x)≥0即可，
即，3-a≥0，a≤3.
若使f(x)在[1.+∞）上为增函数，a的取值范围为：a≤3.

追问

f'(x)=3x^2-a，
哪来的？

追答

求导啊

追问

没学过导数，请问不用导数怎么做

追答

那就只能用定义了……
x1<x2
f(x1)-f(x2)=(x1^3-x2^3)-a(x1-x2)=(x1-x2)(x1^2+x2^2+x1x2)-a(x1-x2)
=(x1-x2)(x1^2+x2^2+x1x2-a)
即，x1^2+x2^2+x1x2-a≥0时，f(x)为增函数，
而x1^2+x2^2+x1x2的最小值为3，
所以当a≤3时，满足题意.

追问

x1,x2是在区间[1,+∞）上的吗

追答

肯定是啊，不然x1^2+x2^2+x1x2的最小值为3就不成立了