Question

数学难题

问题：你能比较两个数2010的2011次方和2011的2010次方的大小吗？
为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较n的n+1次方（n+1）的n次方的大小（n为自然数）。然后，我们从分析n=1,n=2,n=3,…这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论。
（1）.1的2次方＜2的1次方，(2).4的5次方＞5的4次方。
（2）从第一题的结果经过归纳，可以猜想出n的n+1次方（n+1）的n次方的大小关系是___
（3）根据上面归纳猜想所得出的一般结论，试比较2010的2011次方和2011的2010次方的大小。
解：_______________.
我是初中生，讲得简单点，行吗？急用

Answer 1

解：针对你是初中生的话，这个题目应该属于奥数里面的内容了，你就只能按题目所说的用猜
想，初中数学知识还是不够推理这个的通项的。大胆猜想，从几个小的数字开始算算看规律
（2）大于
（3）大于
忘记了高中有没有学过导函数，下面我把这个题的分析推理过程给你写下来你看下：
分析：n^（n+1）>（n +1）^n，我们把n换成x吧，这样习惯些，
即：x^（x+1）>（x +1）^x
两边取自然对数得：（x+1）lnx > xln（x+1）（因为自然对数是增函数，所以不等号不换向）
整理不等式得：lnx / x > ln（x+1）/（x+1）
这个问题就转换成f（x）=lnx / x 的单调性
对f（x）求导得：f ‘（x）=（1-lnx）/ x^2
所以当，1-lnx < 0 时f ‘（x）<0,f（x）为单调减函数
即：x > e，时f（x）为单调减函数,n^（n+1）>（n +1）^n
同理，x < e，时f（x）为单调增函数,n^（n+1）<（n +1）^n

Answer 2

做这道题要用极限来做,当N取很大值时来比较这两之间的关系

limit (n^n+1) / (n+1)^n = (n^n * n) / (n+1)^n
n->infitiry

由于n接近无穷大，所以 n 约等于 n+1 , 因此，我们能够约分 n^n 和(n+1)^n， 所以这个极限变成了 limit = n, 而 n 为无穷,就是说，分子比分母大
虽然 n^n+1 与(n+1)^n 都趋向无穷，但是 n^n+1 接近无穷的速度比 (n+1)^n 要快得多

Answer 3

（2）当N等于或2的时候 n的n+1次方小于（n+1）的n次方
当N大于等于三的时候 n的n+1次方大于（n+1）的n次方

(3)2010的2011次方 大于 2011的2010次方

Answer 4

2010的2011次方＞2011的2010次方