Question

已知函数f(x)=x^2-4ax+2a+6(a∈R)

已知函数f(x)=x^2-4ax+2a+6,(a∈R)，求
若函数的值域是[0，+无穷），求a的值
若函数f(x)的值域是[0，+无穷)的子集，求函数g(a)=2-a|a-1|的最大值和最小值

Answer 1

已知，f﹙x﹚∈[0,＋∞﹚,从图像上看，这是一个开口向上的抛物线。抛物线的顶点必须在x轴上。所以，多项式x²－4ax＋2a＋6或方程x²－4ax＋2a＋6＝0必有两个重根。所以判别式=0.
﹙4a﹚²－4×﹙2a＋6﹚=0，即a=-1或a=3/2.
第一问也可以当做第二问的一个子集。（假子集）。
我们设f(x)d的定义域为[m,＋∞﹚,此处，m≧0.
∵x²－4ax＋2a＋6≧0对于任意的x 恒成立。∴方程x²－4ax＋2a＋6＝0的判别式≦0，
即﹙4a﹚²－4×﹙2a＋6﹚≦0, ∴4a²－2a－6≦0, ∴－1≦a≦3/2,
当－1≦a≦1时，|a-1|=1-a, 此时，
g(a)＝2－a|a－1|＝2－a﹙1－a﹚＝a²－a＋2＝﹙a－½﹚²＋﹙7/4﹚≧7/4,（最小值）
﹙a－½﹚²＋﹙7/4﹚当a＝－1时，有最大值g(a)＝16,
当1≦a≦3/2时，|a-1|＝a-1,此时，
g(a)＝2－a|a－1|＝2－a﹙a－1﹚＝－a²＋a＋2＝9/4 －(a－½)²≦9/4,(最大值）
对于9/4 －(a－½)²，当a＝3/2时，有最小值5/4.
答：最大值16；最小值5/4.

Answer 2

(1)f(x)=(x-2a)^2-4a^2+2a+6
-4a^2+2a+6=0
a=-1或a=3/2
(2)y=x^2-4ax+2a+6
是开口向上的抛物线
其值始终为非负数，所以最小值
为非负数
y
=
x^2
-
2
*
2a
*
x
+
(2a)^2
-
(2a)^2
+
2a
+
6
=
(x
-
2a)^2
-
2(2a^2
-a
-3)
最小值为
-2(2a^2
-
a
-3)
-2
(2a^2
-
a
-3)
≥
0
(2a
-3)(a
+
1)
≤0
-1
≤
a
≤
3/2
在此范围内
a
+
3
恒大于0
f(a)
=
2
-
a(a+3)
=
-a^2
-
3a
+
2
=
-
[a^2
+
3a
-2]
=
-
[(a
+
3/2)^2
-
9/4
-
2]
=
17/4
-
(a
+
3/2)^2
f(a)
是
以
a
=
-3/2
为顶点的抛物线。在顶点两侧单调递减。
区间
-1
≤
a
≤
3/2
在
a
=
-3/2
右侧。
最是值为
f(-1)
=
2
-
(-1)*|-1
+
3|
=
4
最小值为
f(3/2)
=
2
-
(3/2)|3/2
+
3|
=
-19/4