Question

证明数列收敛的基本方法

Answer 1

1. 证明数列收敛通拦隐常是落实到定义上或者证明数列的极限是固定值。
   比如数列an=a0+1/n，随着n增大，lim(an)=a0，因此可证明数列{an}是收敛的。
   

2. 数列收敛的定义：如果数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，不等式|Xn-a|<q都成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。

3. 具体证明各种数列收敛的方法是高数至少半个学期的课程，不可能在这给一一列出来。可参考微积分II的教材，非常详细。
   

4. 有界性，定义：设有数列xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|<M成立，则局衡山称数列xn有界。定理1：如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数桐中列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。

5. 保号性，如果数列{Xn}收敛于a，且a>0（或a<0），那么存在正整数N，当n>N时，都有Xn>0（或Xn<0）。

Answer 2

证明数列单调有界即可，有界证明用极限存在定理。

如果数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，不等式|Xn-a|<q都成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。

证明数列收敛通常是落实到定义上或者证明数列的极限是固定值。比如数列an=a0+1/n，随着n增大，lim(an)=a0，睁茄因此可证明数列{an}是收敛的。

相互关系

收敛数列与其子数列间的关系

子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M。

若已知一个子数列发散，或有两个子数悉运察列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。

如果数列{an}收敛悄迹于a，那么它的任一子数列也收敛于a。

Answer 3

因为数列{Xn}有界所以不妨假设|Xn|