Question

【高数】咨询一道数列极限的证明题

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谢谢各位！

Answer 1

数列的通项的递推公式是a(n+1)＝√(2+an)，a1=√2。
由归纳法可以证明0＜an＜2，所以数列{an}有界
a(n+1)^2-an^2＝2＋an－an^2＝(2-an)(1+an)＞0，所以a(n+1)＞an，数列{an}单调增加。
所以数列{an}收敛，设极限为a。
令n→∞，由a(n+1)＝√(2+an)得a=√(2+a)，所以a=2
所以数列{an}收敛，极限是2

Answer 2

单调有界准则

Answer 3

者只要证明数列是单调增加且有上界就可以知道数列收敛了。事实上，显然x2>x1, 设x_n>x_{n-1}, 则x_{n+1}=√(2+a_n)>√(2+a_{n-1})=a_n, 由数学归纳法知数列单调增加；另一方面，显然a_1<√2+1, 设a_n<√2+1, 则a_{n+1}=√(2+a_n)<√(2+√2+1)<√(2+2√2+1)=√2+1, 即数列有上界√2+1, 因此数列收敛.