Question

D是等边三角形ABC外的一点，DB=DC,∠BDC=120°，点EF分别在AB、AC上，试说明若ED平分∠BEF

则1 FD平分∠EFC
2 △AEF的周长是BC长的两倍

Answer 1

1)

如图，作DG垂直于EF，垂足为G

三角形ABC是等边三角形。<CBA=60º

由于DB＝DC，三角形DBC是等腰三角形，＜DBC＝1/2(180º-120º)=30º

那么<DBA=,DBC+<CBA=90º,则DB垂直于AB

ED平分<BEF 

那么 DB=DG（角平分线上的点到角两边等距）

同理，DC垂直于AC，

由于DC=DB，所以DC=DG

从而D在<EFC的平分线上，

FD平分<EFC

2)

在三角形BED和三角形GED中，

DB=DG

<BED=<DEG 

DE=DE

三角形BED和三角形GED全等

所以 GE=BE

同理可得 GF=CF

三角形AEF的周长=AE+AF+EF=AE+EG+AF+FG=AB+AC

AB=AC=BC

所以三角形AEF的周长=2BC

Answer 2

1。证明：作DH垂直于EF，垂足为H。
因为 BD=DC，角BDC=120度，
所以 角DBC=角DCB=30度，
因为 三角形ABC是等边三角形，
所以 角ABC=角ACB=60度，
所以 角ABD=角ACD=90度，
因为 ED平分角BEF，
所以 DB=DH，
因为 DB=DC，
所以 DH=DC，
所以 FD平分角EFC。
2。解：因为 DH垂直于EF，角ABD=90度，
所以 角ABD=角EHD，
又因为 ED平分角BEF，ED=ED，
所以三角形EBD全等于三角形EHD，
所以 EB=EH，
同理： FC=HF
所以 三角形AEF的周长是BC的两倍。