Question

求一道含参数的绝对值不等式解法： 若不等式|x-2|＋|x-4|﹥a对一切实数恒成立，求实数a的取值范围。

可不可以请高手顺便讲解一下这类含参绝对值不等式的思考方式与格式，因为鄙人是初学者不太懂……谢谢啦！

Answer 1

因为我高中毕业太久了 这题应该是中学的题 我讲下我的思路吧 希望能够帮到你|
|X-N|代表的意义 是数轴上一段线段的长度 即点X到点N的距离
|x-2|＋|x-4|为点X到2、4两点的距离之和
于是思路是画出数轴标出关键点2和4
分类讨论
当x＜2时 |x-2|＋|x-4| ＞2
当2≤x≤4时 |x-2|＋|x-4| = 2
当x＞4时 |x-2|＋|x-4|＞2
综上
可以得出结论|x-2|＋|x-4|≥2
所以若让|x-2|＋|x-4|＞a恒成立
a的取值范围是a≤2

Answer 2

最简单的方法就是用绝对值三角不等式：要使|x-2|＋|x-4|﹥a，只要|x-2|＋|x-4|的最小值大于a，也就是|x-2|＋|x-4|》|（x-2）-（x-4）|=2，所以a小于等于2