Question

设函数y=f（x）（x∈R，且x≠0）对任意非零实数x1，x2，满足f(x1)+f(x2)=f(x1x2)

1.求f(1)+f(—1)的值
2.判断函数y=f(x)的奇偶性。

Answer 1

1. f(x1)+f(x2)=f(x1x2)，即f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，
令x1=x2=1,代入得f(1*1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0;
令x1=x2=-1,代入得f(1)=f[(-1)*(-1)]=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0,所以f(-1)=0;
2. 令x1=-1,代入得f(-x2)=f(-1)+f(x2)=0+f(x2)=f(x2),所以f(x)是偶函数。

Answer 2

1 因为 f(1)+f(—1)=f(-1*1)=f(—1）所以f(1)=0 因为f(1)=f(-1*-1)=f(-1)+f(-1) so f(-1)=0
2 设a=-1,b=-1则∵f( (-a)*(-b) )=f(ab)
∴-af(-b)-bf(-a)=af(b)+bf(a)
即af(b)+af(-b)+bf(a)+bf(-a)=0
将a=-1代入上式
则有f(b)+f(-b)=0
即f(x)为奇函数