Question

1.已知y=f(x)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数

且f(x)＜0,试判断F(x)=1/f(x)在(-∞,0)上的单调性,并加以证明
2.已知函数f(x)=x＾2+bx+c,且f(1)=0.
(1)若函数f(x)的解析式
(2)在(1)的条件下,求函数f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值
(3)要使函数f(x)在区间[-1,3]上单调递增,求b的取值范围

Answer 1

1.是减函数
在(-∞,0)上任取x1,x2,设x1<x2
则-x1>-x2>0
在(0,+∞)上是增函数,且f(x)＜0
0>f(-x1)>f(-x2)
0>-f(x1)>-f(x2)
0<f(x1)<f(x2)
所以1/f(x1)-1/f(x2)
=[f(x2)-f(x1)]/[f(x1)f(x2)]
>0
1/f(x1)>1/f(x2)
F(x)=1/f(x)在(-∞,0)上为减函数

2.第二题缺条件

Answer 2

1.证明：
先设x>=0,由题意，存在任意正数a
f(x+a)-f(x)>0 （1）

由于f是奇函数，那么f(-x-a)=-f(x+a),f(-x)=-f(x);
1/f(-x) - 1/f(-x-a) （2）
= f(-x-a)-f(-x)/f(-x)f(-x-a)
= -[f(x+a)-f(x)]/f(x)f(x+a)

由（1）以及f(x)f(x+a)>0可得（2）< 0
所以，在负无穷到0 f(x)=1/f(x)是减函数

Answer 3

1.是减函数。因为是奇函数，所以f(x)在(-∞,0)上也是增函数。1/f(x)就是减函数啦。
证明略。