Question

已知：二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,f(0)=1

（1）求f(x)的解析式
（2）求y=f(x)在【-1,1】上的最大值和最小值

Answer 1

f(x)=ax²+bx+c
f(0)=1
c=1
f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+1
f(x+1)-f(x)=2x
a(x+1)²+b(x+1)+1-(ax²+bx+1)=2x
ax²+2ax+a+bx+b+1-ax²-bx-1=2x
2ax+a+b=2x
2a=2
a=1
a+b=0
b=-1
f(x)=x²-x+1
(2)f(x)=(x-1/2)²+3/4
x=1/2 f(x)min=3/4
x=-1 f(x)max=9/4+3/4=3

Answer 2

设f(x)=ax^2+bx+c
f(x+1)-f(x)=2ax+a^2-b=2x
所以2a=2且a^2-b=0
解得a=1且b=1
f(0)=c=1
所以f(x)=x^2+x+1

分别取x=-1 x=1 x=-1/2这三个端点和顶点横坐标带入f(x)=x^2+x+1
得到f(-1)=1 f(1)=3 f(-1/2)=3/4
其中的最大值3 最小值3/4