Question

xsin²x的导数怎么算，为什么复合函数导数计算公式是这样

Answer 1

根据复合函数的求导规则，f(g(x))=f' g',具体证明要看书。
y=x(sinx)^2
y'=(sinx)^2+x*2sinx*cosx=(sinx)^2+xsin2x

追问

我记得是设sinx为u，原函数变为y=xu²。整体函数导数则应为 y‘ 乘以g’（u）。即两函数导数乘积

追答

这样设也是一样的，xu^2仍然是一个复合函数（其为两个函数的积），因此其导数为：
y'=x' u^2+x (u^2)'
=u^2+x (2u u')
=u^2+x(2u cosx)
=(sinx)^2+x(2sinx cosx)

追问

现在什么都搞清楚了。我原先出错的地方史对 sin²x 求导错误。
你能证明出复合函数求导公式吗。
如果不能，我还是要感谢你

追答

这种东西书上大把，或者百度一下即可：
y=f(u)在点u可导，u=g(x)在点x可导，则复合函数y=f(g(x))在点x0可导，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)
证明：因为y=f(u)在u可导，则lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)
当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f'(u)Δu+αΔu
但当Δu=0时，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。
又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边，且求Δx->0的极限，得
dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δy/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx
又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时，有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0
则lim(Δx->0)α=0
最终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)