Question

利用积分,计算面积题

题: 求曲线 r = 3cosa , r= 1 + cosa 所围成平面图形公共部分的面积

答案是5π/4

我觉得 r = 3cosa 的图像不应该是个圆啊
但是答案给的图像是一个以x为横轴,半径为r的圆

而答案给出的 r= 1 + cosa 的图像类似阿基米德螺旋线(横着的心型)

虽然圆的公式是 x^2 + y^2 = r^2
但是r和角度并没有什么关系啊

为什么图像会是圆呢????

Answer 1

圆的式子 x^2 + y^2 = r^2， x=r cosa ，y=rsina，参数方程，对吧，
当r = 3cosa 两边乘上r
r^2=3cosa*r=3x
x^2+y^2=3x
你自己配方下 自然是个沿x轴平移的圆心是（3/2，0），半径是3/2的圆
所以答案是对的，是一个以x为横轴,半径为r = 3cosa的圆

有疑问可以追问。如对你有帮助请及时采纳。

追问

你的意思是 要把r a转化为x y的函数,再对这个函数积分求面积吗?

为什么我不能理解成 r = 3cosa r= 1 + cosa 就是两个普通的余弦函数
之后算它们围成的图形呢?(这里r不是因变量 ,a也不是自变量?)

还是有点不能理解,希望你能讲一下你的解题思路

追答

不用转换 直接就按书上的极坐标系算积分来做。
我刚才转换成xy只是说明它是个圆。当然如果转换成xy的话就是直角坐标系求面积，结果都一样，就是过程麻烦些。
上面说的极坐标就是把它两理解成 r = 3cosa r= 1 + cosa两个普通的余弦函数做的啊，
{ r = 3cosa
r= 1 + cosa
只是r是根据a变换变换的，并不是没有关联。
所以极坐标做就是 积分（上限角度，下限角度）1/2 ρ^2 dθ.，
其中ρ是关于θ变化的一个因变量，也就是这里的r
θ是自变量，也就是这里的a
这个公式在书上是有推导的