Question

求教高中数学题，设函数f(x)=x2+︱2x-a︱ (x属于R,a为实数），设a大于2，求函数f(x)的最小值。

Answer 1

当X≥2时,f(x)=X²+X-2-1≥4+2-3=3

当X<2时,f(x)=X²+2-X-1=X²-X+1=(X-1/2)²-1/4+1=(X-1/2)²+3/4,那么有当X=1/2叶.f(x)有最小值3/4

两种情况综合看,当X=1/2叶.f(x)有最小值3/4

Answer 2

(1)当x≥a/2时f(x)=x²+2x-a
对称轴是x=-1 开口向上
由于a>2，故a/2>1 ，所以f(x)在[a/2，+∞）是增函数
故最小值为f(a/2)=a²/4
(2)当x<a/2时f(x)=x²-2x+a
对称轴是x=1 开口向上
由于a>2，故a/2>1
所以f(x)在(-∞，1）是减函数，在(1，a/2)是增了池数
故最小值为f(1)=a-1
由于(a²/4)-(a-1)=(a²-4a+4)/4=(a-2)²/4>0
所以a²/4>a-1
所以f(x)的最小值为a-1

Answer 3

当x＜a/2
f(x)=x2-2x+a 因为a＞2 故当x=1时f(x)取到最小值a-1

当x≥a/2
f(x)=x2+2x-a 因为a＞2 故当x=a/2时f(x)取得最小值a2/4

因为a＞2 所以a-1最小

Answer 4

分段讨论，(-∞,a/2)∪[a/2,+∞)
x∈(-∞,a/2) 时 2x-a<0 所以 f(x) = x^2-2x+a 在x∈(-∞,a/2) 恒成立
a/2>1 所以 1 在这一段可以取到，而1正是 x^2-2x+a 的对称轴，开口朝上说明x=1时
f(x)在这一段取到该分段的最小值，也就是 f(1) = -1+a

x∈[a/2,+∞)时2x-a>=0 所以f(x)=x^2+2x-a 在x∈[a/2,+∞)
a/2>1 所以 f(x)在这一段上都落于x^2+2x-a的对称轴x=-1的右边，所以是递增的
所以最小值在左端点取到，即f(a/2) = (a^2)/4

f(x)在整个R上的最小值就是-1+a和(a^2)/4俩者中最小的那个

而(a^2)/4 -(-1+a) = 1/4 * (a^2 -4a + 4)=1/4 * (a-2)^2 ≥0
所以 (-1+a)≤(a^2)/4
因此 最小值是 -1+a