Question

对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点,已知函数f(x)=ax^2 +(b+1)x+(b-1)(a≠0)

(1）当a=1,b=-2时，求函数f(x)的不动点 (2).若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，求a的取值范围。
(3).在(2)的条件下,若y=f(x)的图象上A,B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A B两点关于y=kx+1/(2a^2+1)对称，求b的最小值。

Answer 1

解：（1）当a=1，b=-2时，f（x）=x2-x-3=x⇔x2-2x-3=0⇔（x-3）（x+1）=0⇔x=3或x=-1，
∴f（x）的不动点为x=3或x=-1．
（2）对任意实数b，f（x）恒有两个相异不动点
对任意实数b，ax2+（b+1）x+b-1=x恒有两个不等实根
对任意实数b，△=b2-4a（b-1）＞0恒成立
对任意实数b，b2-4ab+4a＞0恒成立
△′=（4a）2-4×4a＜0
a2-a＜0
0＜a＜1．
即a的取值范围是0＜a＜1．

追问

关键是第3问.