Question

行列式证明

siina不等于0
2cosa 1 0 …… 0 0
1 2cosa 1 …… 0 0
0 1 2cosa……0 0
……………………………………
0 0 0…… 2cosa 1
0 0 0 …… 1 2cosa
这个行列式等于sin(n+1)a/sina
请用数归法证明，重点是n到n+1的那步，谢谢

Answer 1

证明:行列式记为Dn.
按第1列展开得: Dn=2cosθD(n-1) - D(n-2).
下用归纳法证明
当n=1时, D1=2cosθ
sin(n+1)θ/sinθ=sin2θ/sinθ=2cosθ.
所以n=1时结论成立,即D1=sin(1+1)θ/sinθ.

假设k<n时结论成立, 则k=n时
Dn=2cosθD(n-1) - D(n-2)
=2cosθsin(n-1+1)θ/sinθ - sin(n-2+1)θ/sinθ
=2cosθsinnθ/sinθ - sin(n-1)θ/sinθ
=[2cosθsinnθ - sin(n-1)θ]/sinθ
=[sin(n+1)θ+sin(n-1)θ - sin(n-1)θ]/sinθ
= sin(n+1)θ/sinθ
所以k=n时结论也成立.

追问

Dn=2cosθD(n-1) - D(n-2)这一步怎么推出来的？