Question

我们规定，如果一个棱锥的底面是正三角形，顶点在底面的投影是底面三角形中心，这样的棱锥叫做正三

我们规定，如果一个棱锥的底面是正三角形，顶点在底面的投影是底面三角形中心，这样的棱锥叫做正三棱锥。已知在正三棱锥A--BCD中，底面边长为a侧棱长为2a，过B点作与侧棱AC，AD相交的截面BEF，在这个截面三角形中，求：（1）周长的最小值（2）周长最小时的截面面积

Answer 1

沿着BA剪开，侧面展成一个平面图形，点B对应的另一点是B',BB'分别与AC，AD相交于E,F.

则BB'的长就是 △BEF的周长的最小值，要计算BB'长，必须求出∠BAB'的大小，

因为∠BAB'=3∠BAC,设∠BAC=α

利用余弦定量cos∠BAC=[(2a)²+(2a)²-a²]/8a²=7/8，即cosα=7/8

所以sinα=√15/8

sin2α=7√15/32

cos2α=17/32

cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα=119/256-105/256=14/256

在△BAB'中利用余弦定理

BB'²=4a²+4a²-2·2a·2acos3α=8a²-14a²/32=121a²/16

BB'=a*11/4

周长的最小值=a*11/4 

上述算周长也可以按照比例计算，方法更简单。事实上BE=CF=a。EF=3/4*a

面积：S△BEF=1/2*h*EF=1/2*a√7/4*a3/4*=3a²· √7/32

由于操作相当困难，因此没法太详细。